[MUSIC] Hola, bienvenidos a esta nueva clase del curso de Equilibrio, ¿Por qué no se caen las cosas? En esta oportunidad definiremos un concepto sumamente importante para el desarrollo de las siguientes clases que es la idea de momentum. Ahora, la idea la definiremos en relación a la acción de una serie de fuerzas y de momentos en relación a un punto específico. Luego veremos cómo esto lo aplicaremos a una serie de puntos y, por supuesto, a cuerpos más complejos. Para ilustrar un poco esta idea, imaginemos que tenemos una llave que está tratando de sacar una tuerca, como se muestra en la imagen, la llave con color naranjo, la tuerca con color gris. Y lo que hacemos es aplicar una fuerza con nuestra mano para tratar de sacar esa tuerca. En este caso la fuerza está representada como por dos vectores FA y FB, que son fuerzas que van a actuar en una cierta dirección y en un punto específico, A y B. Pero que por cierto tienen un efecto en torno al punto O, centro de la tuerca. ¿Cuál es ese efecto? Es tratar de girar a ese cuerpo. Entonces la idea de momento, debemos siempre asociarla a a esta tendencia o al efecto de giro de cuerpos en el espacio y, también en el plano por supuesto. Si las fuerzas producen desplazamientos, lo que tratan de hacer los momentos es girar los cuerpos. Ahora, un poco más formalmente la idea de momento se puede definir matemáticamente como el producto entre la magnitud de una determinada fuerza. En este caso, representada por ese término como de valor absoluto, estas dos líneas verticales alrededor de F vectorial, multiplicado por d. Donde d es la distancia de la línea de acción de la fuerza en relación al punto con respecto al cual estamos mirando el momento. Y eso es lo que entendemos como la magnitud del momento, la cantidad de momento en torno a ese punto. En términos un poco más generales, lo que aparece indicado en la imagen. Si uno tiene una placa, digamos un cuerpo en el espacio, donde hay una fuerza F actuando sobre ese cuerpo, y uno está interesado por las razones que sea en determinar cuál es la acción de esa fuerza. En relación a un punto específico, como el punto A que está ahí indicado, nuevamente la idea es que el momento es F multiplicado por la distancia, d minúscula, en relación al punto A que está ahí señalado. Eso, por cierto, va a tener una intención, digamos, va a tener un efecto sobre el punto A y, en particular, sobre el cuerpo completo. De tratar de hacerlo girar en torno al eje OO que está indicado ahí, en la dirección de la flecha circular M que está mostrada en la figura. Ahora, esto ustedes quizás lo podrán asociar a algo que conocemos bien con la regla de la mano derecha, no es cierto, cuando hay una cierta fuerza apuntando en una dirección. Y esa fuerza tiene una distancia respecto a un cierto punto, y el momento en que esa fuerza en torno a ese punto sigue una cierta nomenclatura, un cierto sentido de giro. En este caso, los giros positivos típicamente los vamos a asociar a giros que están asociados con la dirección del pulgar. Esto es una definición que iremos trabajando en los ejercicios más adelante, pero pareció apropiado indicarlo con la imagen que está indicada ahí. Ahora, siguiendo con la idea de momento, repito la figura que estaba en el slide anterior, esta fuerza actuando en una placa y viendo cuál es el efecto del momento de esa fuerza en relación al punto A. Esta idea de fuerza por distancia se puede generalizar un poquito más, con la idea del producto cruz. Si ustedes se fijan en la segunda ecuación que dice que la magnitud del momento es R por seno de alfa por F, bueno, R por seno de alfa no es otra cosa que el mismo d minúscula que vimos en el slide anterior. Y de hecho, si uno se remite a la definición del producto cruz que vimos en clases anteriores, uno puede definir el momento como una figura vectorial también, como el producto cruz entre r y F. F es la fuerza, la misma fuerza de siempre. r es un vector que va desde el punto de interés a cualquier punto de la línea de acción de la fuerza. Ahí es cosa de elegir un punto que sea conveniente para nosotros, pero ustedes tiene F y su línea de acción, tienen el punto en cuestión, y r es un vector que une al punto de interés con cualquier punto de la línea de acción de esa fuerza. Y el producto cruz entre r y F da origen a esta figura vectorial M, que tiene una dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha, r cruz F. Y tiene la magnitud que está indicada más abajo, que you la habíamos definido, que es fuerza por distancia. Ahora si tenemos un sistema de fuerzas, o sea, más de una fuerza actuando sobre un mismo cuerpo, o sea F, una suma de fuerzas F sub i, esta idea del momento también se puede extender, es muy fácil. Porque finalmente son todas puras figuras y ecuaciones lineales. Por ejemplo, si yo quiero acercar el momento total que este sistema de fuerzas hace sobre un determinado punto, bueno, recurro a la definición r cruz F. Donde F ahora es una sumatoria, no es cierto, suma de F sub i, pero al tratarse del producto cruz, el producto cruz tiene esta característica de que, en el fondo, cuando yo tengo R cruz, una suma de vectores, yo puedo hacer R cruz cada vector individual. Y después efectuar la suma, y eso es justamente lo que aparece en la tercera línea. R cruz, la sumatoria, es lo mismo que la sumatoria de R cruz, cada una de las fuerzas individuales y eso lo podemos, en el fondo, definir como, ¿cuál es el momento total? Bueno, es la suma de la serie de momentos individuales que cada fuerza hace en relación al punto en cuestión. Esto es solamente un poco para generalizar la idea de momento cuando uno tiene un sistema de fuerza. Lo que veremos a continuación será la aplicación de esta idea de momento y de fuerza, por supuesto, a un problema específico. En este caso, se trata de un problema muy sencillo. Donde hay sólo una fuerza de cuatro kilonewtons de magnitud actuando en el punto A, que está indicado ahí en la figura, de coordenadas 1.2, 1.5 en un sistema cartesiano, plano. Esa fuerza F tiene una inclinación que está indicada ahí por la pendiente tres vertical. Esa cinco horizontal, y la pregunta se refiere a algo muy concreto. Determinar cuál es el momento que esa fuerza hace en torno al origen, al punto O. Y además hay una pregunta adicional que es, ¿cuál serían las coordenadas de los puntos sobre los cuales el momento de tal fuerza sería totalmente nulo? Entonces lo que haremos a continuación será aplicar las definiciones que acabamos de ver a este problema sencillo de momento. En este problema lo que se pide es determinar el momento que ejerce la fuerza de cuatro kilonewton que está pasando por el punto A con esta inclinación, en relación al origen, en relación al punto O. Además, se hace una pregunta respecto a cuáles son aquellos puntos respecto a los cuales la fuerza F no ejerce momento. Partamos por lo primero, definir cuál es el momento de esa fuerza F en relación al punto O. Y para ello recorremos a la definición algebraica de momento que indica que M no es más que el producto cruz entre r y F. r es un vector que va desde el punto de interés, o sea del punto O, a cualquier punto de la línea de acción de la fuerza F. En este caso voy a escoger como punto el punto A, de manera que r, en este caso, para mi resolución, va a ser ese vector que está indicado ahí. En este caso, ese vector r va a tener una componente según x de 1.2 metros en y 1.5, y en z, dado que el problema es plano, tiene el componente nula. Por otra parte, la fuerza F que está indicada ahí tiene una magnitud de 4 y la tengo que multiplicar por la dirección unitaria que tiene esa línea roja que esta señalada ahí. Para ello solamente notar que ahí aparece la inclinación de esa línea, se indica que esa línea tiene una inclinación en el sentido vertical de tres veces, lo que sea, y horizontal de cinco. Por lo tanto, la inclinación, le llamamos la inclinación a ese angulito que está acá, alfa, que está ahí. Si quiero encontrar el coseno de alfa o el seno de alfa lo puedo hacer rápidamente simple, acá voy a dibujar una línea para que no nos confundamos. El coseno de alfa se puede encontrar como la raíz cuadrada de la suma de 3 al cuadrado más 5 al cuadrado. 3 al cuadrado es 9, 5 al cuadrado es 25, 25 más 9 es 34. Por lo tanto el coseno de alfa es igual a cateto adyacente, que sería 5, dividido por la hipotenusa que sería la raíz cuadrada de 34. De manera similar, el seno del ángulo alfa sería cateto opuesto, que es 3 partido por la longitud de la hipotenusa, que es 34. O ustedes pueden encontrarlo de otras maneras, pero ésta es la manera en que a mí me resulta más sencillo. Definido de esa manera, entonces la fuerza F la puedo representar como su magnitud 4, multiplicado por el coseno de alfa. Solamente que hay que ponerlo con signo negativo, porque la fuerza tiene una proyección horizontal que va para el lado izquierdo. Y también signo negativo seno de alfa, según J. Porque tiene una componente vertical que apunta hacia abajo. Como sé cuánto valen esos valores, puedo indicar que F, que está acá, es igual, voy a multiplicar al 4 por el coseno de alfa con signo negativo. Ese coseno da 5 sobre raíz cuadrada de 34. Eso da -3.43. Y 4 multiplicado por el seno de alfa, y el seno de alfa lo conozco, es -2.06 y no tiene componente según z. Tengo entonces r, tengo F por otra parte y para encontrar el momento que hace la fuerza roja en relación al punto O, hago la operación de producto cruz entre ambos vectores. Hay distintas formas de ejecutar ese producto cruz. Una manera relativamente popular es a través del cálculo determinante de la siguiente matriz de 3 por 3. Se ponen los vectores unitarios i, j y k en la primera fila. Esto es solamente un tema nemotécnico, nada más para recordar eso. Se pone el vector r en componentes x, y y z, y luego el vector F en componentes x, y y z. Y lo que se hace es calcular el determinante de esta matriz de 3 por 3. Acá no voy a ir a los detalles de eso, pero debería ser más o menos claro que al sacar la determinante, las componentes i y j se van a anular. Porque está esto con 0 y 0. Y la única componente que va a sobrevivir de ese producto r cruz F es la componente k. O sea, en otras palabras acá tengo 0 según i + 0 según j. Más la componente k que resulta determinante de la submatriz de 2 por 2 que está indicada acá. Queda 2.67 según k. Al hacer esta operatoria como r está en metros y F está en kilonewton, este resultado queda directamente en kilonewton por metro. Por lo tanto, el momento que ejerce la fuerza F indicada ahí en relación al punto O es este número, son 2.67 kilonewton por metro. Y para responder la otra pregunta, se consulta sobre cuáles son los puntos a lo largo de los cuales la fuerza F no ejerce ningún tipo de momento. Gráficamente eso se puede deliminar en el fondo para que la fuerza F no ejerza momento significa que r tiene que ser nulo. Por lo tanto, todos los puntos que se alineen de acuerdo a la línea roja que está ahí son puntos con respecto a los cuales F no ejerce momento. O sea, me bastaría con escribir la ecuación de la recta roja que estoy señalando ahí. Eso se puede hacer de esa manera o bien exigiendo. Estoy respondiendo la otra parte del problema. Que es cuáles son los puntos que tienen coordenadas llamemos x, y tales que al mirar esos puntos y hacer la operación r cruz F, me da exactamente 0. 0 en todas las componentes. 0 según i, 0 según j, que eso en el caso plano siempre es así. De manera que me dé 0 según k. Y para hacer eso sigo un poco la misma idea. Ustedes pueden imaginar que acá tengo al plano. Tengo la fuerza F que está por acá, y acá está el punto A en cuestión. Estoy buscando aquellos puntos del plano con coordenadas x e y, respecto a los cuales esta fuerza no ejerce ningún momento. Entonces ¿cuál es el momento que esta fuerza ejerce en torno a ese punto? Nuevamente lo que puedo ocupar es la idea de r, allí, cruz F, que es este vector que está acá. Y poner que ese producto cruz sea nulo. En este caso, este nuevo r, porque acá el punto no es el origen, sino que estoy buscando el punto para el cual ese momento se anula. Ese r lo puedo escribir directamente como la diferencia de posición entre A y el punto con coordenadas x e y. O sea, es un vector que se ve de esta manera, (1.2- x) según la dirección i + (1.5- y) según la dirección j + 0 según k. Entonces, acá tengo mi vector r, el vector F sigue siendo el mismo, y lo que hago es repetir la operatoria que hice antes. Solamente que en la fila intermedia, en vez de tener una posición fija, tengo una posición variable. Entonces aquí voy a poner digamos unos puntos suspensivos, indicando que hay algún tipo de cálculo indicado ahí. Pero finalmente lo que voy a imponer es que r cruz F sea 0, o sea que -2.06 (1.2- x). Esto proviene solamente de calcular el determinante apropiado que está acá, + 3.43 (1,5- y) tiene que ser igual a 0. Si uno desarrolla esa ecuación, obtiene la ecuación de la recta que you había indicado. O sea que es la ecuación que dice que 2.67 es igual a -2.06 por x + 3.43y. Todos los puntos para los cuales se cumpla esta ecuación son puntos respecto a los cuales la fuerza F no ejerce momentos más que las la línea recta que es la línea al largo de F. Ustedes eso lo pueden verificar gráficamente por su cuenta.
