[MUSIC] Hola. Bienvenidos a esta nueva clase del curso de Equilibrio ¿Por qué no se caen las cosas? En esta ocasión pasaremos a un tema nuevo. Es la idea de resultantes, primero con foco en problemas bidimensionales. La idea de resultante posiblemente sea más fácil de explicar, a través de una serie de gráficos que es lo que verán a continuación. Imaginemos que tenemos un cuerpo, indicado acá con esta figura celeste, sobre la cual actúan una serie de fuerzas. Podrían ser fuerzas y momentos, en este caso solamente para efectos de simplificar la figura, lo dejé indicado con una serie de tres fuerzas F1 a F3. Y lo que estamos preocupados es tratar de simplificar cuál es la acción de esta serie de fuerzas, y eventualmente de momentos, en relación al cuerpo de color celeste que está indicado acá en la figura. Es cierto que uno podría tratar cada fuerza y el momento que cada fuerza ejerce sobre el cuerpo de manera independiente, y después sumar al final. Pero, es algunas veces conveniente, como veremos en algún ejercicio más adelante, simplificar este sistema en lo que conocemos como una resultante. Ahora, si uno toma todas estas fuerzas F1, F2 y F3, y uno está preocupado de la acción de ese sistema de fuerzas en relación al punto O, por ejemplo que está indicado, uno puede tomar esas fuerzas y trasladarlas. En el punto O de la manera que está indicado acá en la imagen. Entonces, significa trasladarlas paralelas a sí mismas, no cambiar su dirección, por supuesto, sino que mover las paralelas a sí mismas con su magnitud, llevarlas todas al punto O. Y reemplazar el efecto de esa traslación por el momento resultante. Por ejemplo, fijémonos por un momento qué efecto hace la fuerza F1 en relación al punto O. Y ustedes ven que lo que ocurre es que, además de la acción de la fuerza misma, aparece un momento indicado acá con el término M sub 1. Que es la intensidad de la fuerza F1, por la distancia de uno de la línea de acción de la fuerza en relación al punto O. Eso mismo puedo hacer para las fuerzas F2 y F3, llevándolo todo al punto O. Si bien esto es un avance, no simplifica tanto el problema, de hecho aparecieron más términos de los que teníamos originalmente. Pero al tratarse F1, F2y F3 y, además, M1, M2 y M3 tratarse de vectores, yo puedo agarrar todos esos vectores y sumarlos algebraicamente o gráficamente, en caso que me sea más conveniente. Eso significa que la suma de F1, F2 y F3, yo la puedo llevar a una sola fuerza, y la suma de M1, M2 y M3 lo puedo llevar a solo un momento. Y eso es lo que está justamente indicado en la imagen inferior izquierda. La suma de fuerzas me daría una resultante de fuerzas R, que es un vector nuevo, resultante de la suma de todas las fuerzas anteriores. Y un momento M sub cero que nace de la suma de los F por d. Ahora, eso ciertamente es una simplificación en relación de lo que teníamos originalmente. Sin embargo, es posible simplificar esto aún más. Éste es un aspecto que acá en el curso yo no elaboraré en mucho más detalle. Solamente lo voy a indicar desde el punto de vista teórico, porque la verdad es que en general basta con la simplificación que está indicada abajo a la izquierda. Pero es posible llevar esto un paso más allá, y en el fondo, agarrar la resultante R, desplazarla en relación a O, una cantidad que sea conveniente para que su efecto sea equivalente al del momento M sub cero indicado en la figura inferior izquierda. Esta idea que en algunos libros también se asocia después la idea del torsor. Es algo que, si bien desde el punto de vista teórico es muy útil, en la práctica, al menos en mi experiencia no es tan necesario para efectos de resolver los problemas que más nos interesan. Por lo tanto, lo más importante es que si tenemos un cuerpo sometido a una serie de fuerzas y, eventualmente, de momentos. Ese sistema yo lo puedo simplificar en un sistema resultante de una fuerza y un momento. Eventualmente como les decía, uno podría simplificarlo aún más pero nos quedaremos con ese concepto inicial. Esto desde el punto de vista gráfico. Ahora, ¿cómo lo haremos desde el punto de vista más matemático, más algebraico? El problema original sigue siendo el mismo, nuestra placa, nuestro cuerpo bidimensional sometido a una serie de fuerzas. Finalmente, ¿en qué terminamos en la figura inferior izquierda? Agarramos todas las fuerzas y las sumamos en un único vector. ¿Cómo calculamos esa resultante? Como una sumatoria de los vectores individuales F sub i. Y por otra parte, ¿cuál es el momento resultante? Finalmente lo que hago es separar cada fuerza, ver el efecto que cada fuerza tiene en relación al punto de interés. En este caso O y ver cuál era el momento que esas fuerzas F hacían en relación al punto O, y luego sumarlas todas algebraicamente. En síntesis, M igual a la sumatoria de R cruz F. Recordemos, R cruz F es una manera vectorial de definir los momentos que hemos utilizado en el curso. Ahora, lo que haremos será resolver un problema simple, bidimensional con estos conceptos metidos detrás. En este caso se trata de tres personas que están moviendo un escritorio, esto es una vista como desde el aire, de una vista superior, donde hay un escritorio, en este caso un cuerpo rectangular. Sobre ese cuerpo rectangular hay tres fuerzas que están actuando, una fuerza de 15 libras vertical, y una fuerza de 25 y de 20 en sentido horizontal. Esto es para tratar de mover a esta mesa, en este caso. Y lo que se pide es determinar la resultante de las fuerzas aplicadas, en relación a un punto bien específico, al punto A. Y una cosa adicional que es cuál es la ecuación de la línea de acción de estas fuerzas. Entonces lo que haremos será primero, calcular la resultante de fuerzas y de momentos en torno al punto A, y luego responder la segunda parte de este problema con las ideas que acabamos de ver en esta clase. En este problema se ve desde arriba un escritorio, en este caso rectangular sobre el cual actúan tres fuerzas, dos en sentido X igual a 25 y 20 libras. Y otro en la dirección Y negativa de 15 libras, y un ejercicio de aplicación directa sólo de determinación de resultantes en el punto A. Es más o menos fácil hacer este cálculo en este caso, porque las fuerzas tienen una manera simple de escribirse. Están orientadas a lo largo de los ejes coordenados, por lo tanto, por ejemplo la fuerza de 20 libras se escribiría como 20 según Y. La fuerza de 25 sería lo mismo, 25 según Y. Y la de 15 libras sería de menos 15 según J. Se sobreentiende que las otras componentes son nulas. Por lo tanto, en lo que se refiere a resultante de fuerzas que no es más que la suma de todas las fuerzas individuales involucradas en el problema, la solución es muy directa. Sumo los componentes Y, que da 45 libras según Y, menos 15 según J. Eso si lo quiero llevar a un dibujo, puedo hacerlo, por ejemplo con este color verde, tiene 45 libras según X y 15 según Y, pero en negativo, eso significa que va hacia abajo. O sea, que la resultante de esas tres fuerzas que están indicadas ahí se podría ver algo así. Y la línea de acción de la resultante de las tres fuerzas estaría dada por la inclinación de esa recta, esta recta que está ahí. Tiene ecuación muy sencilla que debe ser de la forma Y igual m por X, donde m es la pendiente de esa línea que está dada por la razón entre los 45, o sea, entre 15 y 45. Esto lo pueden hacer por sí solos de seguro, escribir que Y es igual a menos X tercios. Esa es la línea que corresponde a la línea de acción de la resultante de las tres fuerzas. Ahora, en lo que se refiere a la resultante de momentos, esta es la resultante de fuerzas, se podría hacer la operación de sumar los R cruz F, que es lo que hemos hecho en otras ocasiones. En este caso quiero probar algo distinto, porque es más o menos simple. En este caso determinar tal resultante de momentos de una manera más simple. Recordemos que los momentos nos son más que el resultado de la intensidad de la fuerza, multiplicada por la distancia al punto en cuestión. En este caso, la fuerza de 20 libras pasa por A, el punto donde estoy calculando la resultante, por lo tanto la fuerza de 20 no ejerce momento en torno a A. Y solamente tengo la fuerza de 25 y la fuerza de 15 ejerciendo momento en torno a A. Ambos con un sentido de giro en dirección de los punteros del reloj. Entonces, no es necesario hacer toda la operatoria que podría ser incluso hasta complicada en este caso. Yo sé que la resultante de momentos, en primero lugar, como son fuerzas que viven en este plano, la resultante de momentos va a ir según la dirección k, o sea que la puedo colocar algo así. Y lo que va dentro de este paréntesis no es más que la suma de los productos de fuerza por distancia. Entonces, miramos la fuerza de 25, vemos que tiene una distancia de 30 pulgadas respecto a A, entonces me queda 25 por 30. Ese es un momento que va en esta dirección, entonces esto debería multiplicarlo por menos k, y me queda 15 por 60. Que es el momento que la fuerza de 15 ejerce sobre el punto A, también en el mismo sentido de la otra fuerza. Por lo tanto el momento resultante es igual a -1650 en la dirección k. Y esto, si bien no lo puse en el caso anterior, las fuerzas están en libras y el momento está en libra por pulgada. Entonces en ocasiones es más sencillo ir a la definición formal de momento o trabajo algebraico de fuerza, en problemas simples como éste no es necesario.
