[MUSIC] Hola. Bienvenidos a esta nueva clase del curso de Equilibrio, ¿por qué no se caen las cosas? En esta oportunidad veremos la idea y el concepto de reticulados, que es un tipo de estructura bien particular. Que en general bajo ciertas condiciones se puede superponer, porciones que hemos estado viendo a lo largo del curso. La definición de reticulados, la que aparece indicada arriba a la izquierda. Que corresponde a una estructura que está compuesta por elementos esbeltos. O sea elementos prismáticos, muy extenso en una dirección, más pequeños en la otra. Generalmente se llaman barras, las cuales están unidas en sus extremos mediante rótulas perfectas. Esta es la condición ideal básica de un reticulado, que solamente se trata de barras que los extremos tiene rótulas ideales, o sea, rótulas sin roce. Además, algo que no está indicado ahí pero que lo veremos en la figura, es que esta estructura, las cargas, o sea, las fuerzas que actúan sobre ellas. Se concentran en esos puntos de contacto de barras. No hay cargas distribuidas a lo largo de sus elementos. Cuando hay cargas de entremedio pasamos a otro tipo de estructuras que veremos en las clases siguientes. Por otra parte, en problemas bidimensionales de reticulados la unidad básica y que forma esta estructura es el triángulo. Que es un elemento, cuando uno une tres barras a través de unas rótulas, es un elemento indeformable para efectos de modulación de otros cursos. Y en el caso de problemas tridimensionales la unidad básica es el tetraedro, por las mismas razones que en el caso bidimensional lo son. Acá hay un par de fotografías que muestran estructuras reales de estos reticulados, o que se modelan como reticulados. Como por ejemplo las clásicas estructuras de puentes o de pasarela que cubren un cierto espacio. En este tipo de situaciones es muy inusual el uso de estructuras de este estilo. Donde hay una serie de barras que llegan de manera concéntrica a un mismo punto. Y en general solamente son elementos que soportan cargas que se llaman de tracción. O sea de estiramiento o de compresión. Ahora, ustedes igual ponen un poco de ojo, la verdad es que la conexión entre estas barras no es exactamente una rótula ideal. O sea, son elementos que solamente permiten el giro libre entre los elementos, sino que hay algo de momento que se puede transmitir a través de esa unión. Sin embargo, la manera que en ingeniería modelamos esa unión es mediante rótulas ideales, a pesar de que reconocemos que en la práctica no son perfectamente ideales. Acá hay otra imagen, un poquitico más compleja mostrando que estos reticulados pueden ser bastante sofisticados y llegar a generar figuras tridimensionales, estructuras tridimensionales bastante complejas. Incluso, las barras no tienen por qué ser necesariamente rectas. Ustedes ven acá un reticulado donde esos elementos son ligeramente curvos. Acá hay una caricatura en que muestra una idealización de un reticulado, que es la manera en como vamos a tratar los problemas acá en el curso. Ustedes se fijan que acá estos elementos, estas barras son estos elementos azules, muy largos en una dirección, muy pequeños en las otras dos. Están conectados a través de nodos que son estos círculos blancos que están mostrados ahí. Y en este tipo de problemas todas las cargas se concentran solamente en esos puntos blancos, en esos círculos blancos. Ustedes se fijan que hay tres cargas aplicadas de 20 kilonewton, 25 y 30 kilonewton, que tienen nodos bien específicos. Los apoyos a su vez son apoyos que solamente ocurren en los nodos. Esa es la definición general de reticulado, por lo menos en dos dimensiones. Ahora, como resultado de esta configuración donde tenemos elementos de peso despreciable, eso no lo dije antes pero son elementos que, frente a las cargas aplicadas, tienen pesos relativamente pequeños. Donde solamente hay unión de tipo rótula perfecta y donde todas las cargas están aplicadas únicamente en los nodos, en estos puntos de contacto entre barras. Como resultado estos elementos solamente pueden tener dos tipos de esfuerzo. Uno, pueden estar comprimidos, esfuerzos de compresión C, que aparecen indicados ahí. O pueden estar traccionados, eventualmente también podrían tener carga nula, eso en algunos problemas se da. Pero en general son elementos que solamente permiten cargas de compresión o de tracción. Ahora, cuando uno mira este problema y tratar de ver la manera de resolverlo, o sea, de entender por ejemplo, ¿cuáles son las reacciones de apoyo? Esta parte es relativamente fácil porque uno puede tratar a esta estructura como todo un cuerpo, y a ese cuerpo aplicarle las ecuaciones de equilibrio con los diagramas de cuerpo libre respectivos. Ahora, cuando uno habla de resolver de manera completa un reticulado lo que está pensando es tratar de determinar cuáles son estos esfuerzos de compresión, C en cada barra, o de tracción T en cada barra. De manera de después, con herramientas del diseño estructural, definir qué tipo de barra voy a necesitar. O sean el caso, por ejemplo, se trata de perfiles tubulares. O sea de perfiles con una sección circular, ver el diámetro y el espesor de los perfiles de acero, por ejemplo. O en el caso de la imagen del slide anterior, qué tamaño tienen que tener los elementos de madera de manera de resistir las cargas C de compresión o T de tracción de manera apropiada. Un último aspecto antes de empezar a resolver algunos problemas es que para que un reticulado, o sea, una estructura de este tipo sea isostático, este un término que no hemos definido anteriormente. Pero, la estructura isostática son aquellas que basta tener las ecuaciones de equilibrio a mano para poder encontrar todo lo que uno quiere en términos de cargas. Entonces, isostático, esta idea que sea estáticamente determinado, o bien, que el número de ecuaciones de equilibrio es suficiente para resolver todo el tema de esfuerzos dentro de la estructura. Acá aparece una ecuación que trata de definir esto de una manera más formal. Donde aparece que para que una estructura de reticulado sea isostática, es necesario, pero lamentablemente no es suficiente, pero es necesario que el número de barras más el número de restricciones sea igual a dos veces el número de nodos. Voy a explicar inmediatamente por qué eso es así, pero por ejemplo, si uno mira la estructura que está indicada ahí en la imagen y uno cuenta las barras, se da cuenta que hay nueve barras o nueve líneas azules. Además es una estructura que tiene tres restricciones de apoyo, porque en el extremo inferior izquierdo tiene una rótula fija, lo cual restringe dos movimientos, y en el extremo inferior derecho tiene una rótula deslizante que restringe solo uno. Por lo tanto, R es igual a tres y el número de nodos, el número de círculos azules, digamos el número de puntos de uniones en este problema, es seis. En este caso se da de manera natural que, si yo sumo D más R, que es nueve más tres da 12, es igual a dos veces m. O sea, esta estructura al menos cumple con la condición necesaria para ser isostática. Ahora, ¿por qué se da esta ecuación? Bueno. Hay diversas maneras de plantear el equilibrio, y de hecho la próxima clase veremos el primero de estos métodos que es el método de los nodos. Pero si uno imagina que cada uno de estos nodos, cada uno de estos círculos es un punto, una especie de partícula a la cual llegan una serie de fuerzas que son las que viajan a través de las barras. Ustedes se fijan que, para que el sistema esté en equilibrio cada parte del sistema debe estarlo. Eso significa que cada nodo, cada uno de estos círculos debe estar en equilibrio. Como se trata de una partícula, solamente tengo dos ecuaciones de equilibrio que me sirven en el plano. La sumatoria de fuerzas a lo largo de dirección horizontal y dirección vertical igual a cero. Como todas las fuerzas concluyen a ese punto, la sumatoria de momento igual a cero no me aporta nada. Eso significa que en términos generales si yo tengo n nodos, tengo dos por n ecuaciones de equilibrio. Y mis incógnitas están en el lado izquierdo de esa ecuación son las fuerzas en las barras, b, y el número de reacciones de apoyo, que en este caso es r. Entonces, para que sea isostático el número de ecuaciones, dos n, tiene que ser igual al número de incógnitas que es b más r. Entonces, a continuación, un poco para entrenar esta idea, lo que haremos será evaluar estas tres estructuras que aparecen acá indicadas para ver si es que son isostáticas o no, y bajo qué condición lo están. La figura superior izquierda es un reticulado como con una barra medio horizontal conectada. La figura de arriba a la derecha es un reticulado un poco más complejo, donde no sólo hay nodos sino que hay barras que se cruzan sin tocarse. Y en la parte inferior aparece un sistema con diagonales. Veamos cómo resolver estos problemas a continuación. En este problema se pide analizar los tres reticulados de la figura. Y determinar si es que se trata de estructuras isostáticas o no. O sea, estructuras para las cuales basta con las ecuaciones de equilibrio para determinar tanto reacciones como esfuerzos axiales en las distintas barras. Partamos por la estructura de arriba a la izquierda que está acá. Y tal como vimos en clases, de lo que se trata es, en principio, en al menos determinar el número de barras y de reacciones, y ver si el número de nodos es suficiente. O el número de nodos multiplicado por dos, es suficiente para plantear el número de ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas. Las incógnitas serían los esfuerzos de las barras, que en este caso tenemos uno, dos. Tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho barras. Tenemos además como reacciones, tenenos cuatro porque hay dos rótulas fijas. Cada rótula fija restringe dos desplazamientos. Y por otra parte el número de nodos para los cuales puedo plantear ecuaciones en el sentido vertical y horizontal es uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. Entonces ustedes pueden ver. En este caso b más, acá era cuatro, habíamos dicho, cuatro reacciones dos rótulas fijas. Tenemos en este caso ocho más cuatro, o sea, b más r es 12, y n multiplicado por dos es 12. Por lo tanto al menos se satisface la condición necesaria para que el sistema sea isostático. O sea, tengo un número de ecuaciones de equilibrio a mi disposición que es igual al número de incógnitas en el problemas. Así que primero, el primer reticulado podría ser clasificado de manera isostática. El segundo que podríamos marcar éste. El análisis es similar, hay que contar el número de barras. Acá la diferencia con el primer problema es que hay barras que se cruzan, ustedes se fijan que aquí hay unas barras en diagonal que pasan una por encima de la otra sin tocarse. Entonces ahí más que nada hay que tener cuidado con la contabilización. Tenemos uno, dos, tres. Cuatro, cinco, seis, siete, ocho barras completas. El número de reacciones, igual al problema anterior es cuatro, y el número de nodos es nuevamente seis. Por lo tanto, similar al caso anterior, no tengo para qué repetir los cálculos, esta estructura también sería del tipo isostático. O sea, en principio bastaría con las ecuaciones de equilibrio de nodo a nodo, para resolver todas las incógnitas. Por último tenemos esta estructura de reticulado también, donde repetimos el cálculo del número de barras. Tenemos todos los bordes del cuadrado, cuatro, más las dos diagonales, tenemos seis. Tenemos un número de reacciones igual a tres, en este caso. Porque hay una rótula fija y una rótula deslizante, así que dos más uno. Y el número de nodos, en este caso nuevamente hay barras que se cruzan, es cuatro. Entonces tenemos, seis más tres, o sea b más r, seis más tres son nueve, mientras que dos n es igual a ocho. Entonces, tengo nueve incógnitas, ocho ecuaciones, significa que el sistema no puede ser resuelto únicamente por ecuaciones de equilibrio. El sistema clasifica de manera preliminar como sistema hiperestático, y si uno quisiera resolver el problema de este estilo, cosa que se puede, debe incorporar ecuaciones adicionales. Por ejemplo, ecuaciones de compatibilidad de formaciones y relaciones de tensión de formación en los materiales.
