[MÚSICA] Olá! Bem vindos ao nosso último vídeo em que a gente vai fazer resumo de tudo o que foi visto até agora e vai concluir mostrando o teorema da amostragem que diz que é possível sim recuperar exatamente o sinal desejado a partir das suas amostras. Então vamos ver tudo o que a gente viu por enquanto. Vamos imaginar que a gente queira amostrar sinal X de t que tenha essa característica em frequência, ela tem esse sinalzinho em preto que é o que nos interessa e vai até uma frequência máxima fm. A gente tem esse sinalzinho em azul aqui que é ruído dentro dessa faixa inicial de frequência. Ruído a gente não tem o que fazer, ele existe. Eu estou gravando essa voz aqui, tenho ruído, não tem muito o que fazer em relação a ele, vá. Mas eu também tenho algum ruído, alguma coisa, fora da faixa de interesse indo de fs sobre 2 até fs, de fs até 3 fs sobre 2, e vai embora, aqui se repete. Se eu simplesmente pegar esse sinal e amostrar ele eu vou ter 2 detalhes. Primeiro, a gente viu que a maior frequência digital que existe é a frequência Pi e a gente viu que quando a gente amostra aqui a frequência fs sobre 2, onde fs é a frequência de amostragem, é mapeada na frequência Pi digital. Então se eu quero representar bem essa minha frequência fm aqui e a maior frequência que eu consigo representar do mundo analógico é fs sobre 2, eu preciso escolher a minha frequência de amostragem tal que fs sobre 2 seja maior do que fm, ou seja, a minha frequência de amostragem tem que ser mais do que duas vezes a maior frequência do sinal. O segundo fenómeno importante é o fenómeno do aliasing que diz diz que várias frequências vão se misturar após a amostragem. Então o que eu estou mostrando aqui é o que é que vai acontecer se eu amostrar esse sinal aqui. No sinal discreto eu vou ter de 0 até fs sobre 2, eu vou ter a mesma coisa do meu sinal aqui, não muda nada. Eu tenho o preto e eu tenho o azul aqui. De fs sobre 2 até fs, a gente vai ter aquela ambiguidade que diz que a frequência f e a frequência fs menos f são indistinguíveis após a amostragem, fora uma questão de fase que eu tenho que mudar. Então a gente vai ter aqui fs vai acabar afetando o 0, essa frequência vai acabar afetando aqui no meio e fs sobre 2 aqui pouquinho maior acaba afetando pouquinho antes do fs sobre 2. Então tem espelhamento aí porque é fs menos f, então é o espelho. Então esses caras vão aparecer aqui afetando. Esses caras em vermelho vão aparecer afetando assim porque frequências analógicas separadas de fs se distinguem, então daí eu ando daqui para cá eu ando fs. Então eu vou ter o meu sinal analógico, o meu sinal digital perdão, ele vai ser composto nessa frequência aqui pela soma dessa frequência com essa amplitude de fase, mais a frequência verdinha com amplitude fase dada pela curva verdinha, mais a frequência, a mesma frequência com a amplitude fase dada pela curva azul, mais essa mesma frequência com amplitude de fase dada pela curva em vermelho aqui e azul aqui, está bom? Então a gente vai ter que vai, o nosso sinal vai ser o desejado mais uma mistura de 3 ruídos. Bom, o ruído em azul não tem o que eu fazer com ele porque ele está bem em cima das nossas frequências, eu não tenho como distinguir aqui o que é que é sinal de interesse e o que é que é sinal ruído. Mas o verde ele não precisava se misturar aqui, eu não vou ser capaz de representar esse sinal verde de qualquer jeito porque ele está acima de fs sobre 2, mas ele não precisava se misturar aqui, eu posso evitar isso. O vermelho, também. Como eu evito tudo isso? Com filtro anti aliasing. Esse filtro anti aliasing que é que ele tem que fazer? Ele tem que deixar chegar na entrada do meu conversor analógico-digital ele tem que deixar sinal, chegar sinal que tenha, preserve o sinal de interesse até à frequência fm, então eu tenho que ter uma passagem, uma faixa de passagem esse meu filtro que vai até fm sem distorcer o sinal mas ele não pode deixar aparecer aqui as frequências que vão me causar aliasing na faixa de interesse depois da amostragem. Então eu tenho que cortar até à frequência fs menos fm, porque lembra que fm e fs menos fm vão se misturar depois. Então quem eu vou amostrar na realidade não é o sinal completo com azul, verde e vermelho, é o sinal com azul, verde e vermelho depois de passar por esse filtro. E o que é que vai acontecer com essas frequências aqui na faixa de redução? Elas vão ser altamente atenuadas, então na realidade o que eu vou amostrar aqui vai ter o preto e o azul e esse verde aqui já atenuando bastante, então o aliasing que o verde vai causar vai ser esse verde aqui, que vocês deve ver mal, que é altamente atenuado em relação a esse verde. O vermelho já não vai aparecer mais aqui porque ele foi muito atenuado pelo meu filtro. Essa parte do verde que causaria aliasing na frequência de interesse também não aparece, o filtro atenua. Então o que a gente observa é que o que eu vou amostrar ele tem exatamente o sinal de interesse até à frequência de interesse e algum ruído aqui, que é diferente do ruído original mas que não afeta a faixa de interesse de frequências, está. Aí eu passo para a reconstrução desse sinal. Eu poderia jogar ele num conversor digital para analógico direto. E aí o que é que eu tenho? Eu tenho o meu sinal digital aqui que até essa frequência tem aquela curvinha preta mais o ruído em azul, aqui tem aquele ruído que é o azul mais o verde, então preto mais azul, azul mais verde e aqui tem as réplicas do espectro, você lembra que no espectro digital tem aquelas ambiguidades de frequência que se manifestam como réplicas, não é? Frequências separadas de 2 Pi são indistinguíveis, então esse cara aparece aqui deslocado de 2 Pi. A frequência ômega e a frequência de 2 Pi menos ômega fora a questão da fase, também dá a mesma coisa. Então, essas frequências aqui ômega, aparecem aqui como as frequências 2 Pi menos ômega. A hora que eu passo esse sinal pelo conversor de digital para analógico, eu vou pegar o espectro do sinal digital e vou fazer duas coisas: primeiro eu desfaço a regrinha de 3, então as frequências Pi aparecem nas frequências fs sobre 2. Segunda coisa, eu multiplico esse espectro resultante pela transformada de Fourier, usada no, do pulso usado pelo meu conversor de digital para analógico, que em geral tem uma cara mais ou menos assim. Então, aqui em em preto eu já estou mostrando o resultado desse produto, aqui eu estou mostrando a transformada de Fourier do pulso e aqui já o resultado do produto. O que acontece? Acontecem duas coisas. Primeiro aparece essa imagem, essas frequências em fs que vêm da, dessas réplicas aqui à hora que eu multiplico pela transformada de Fourier do pulso e aqui eu introduzi, pela primeira vez, uma distorção na minha faixa de interesse, porque eu estou multiplicando essas frequências aqui que são exatamente as mesmas frequências que tinham no meu sinal original, eu estou agora multiplicando pela transformada de Fourier do pulso que dá ganho menor para as altas frequências do que para as baixas frequências, você tem uma distorção aqui. Então eu tenho 2 problemas: o primeiro problema que a gente pode eliminar é o problema da imagem, esse problema da imagem tem que ser eliminado no mundo analógico porque eu não tenho como evitar essas réplicas no mundo digital, eu não tenho como fazer esse processamento. O mundo digital sempre vai aparecer a frequência 0 vai ser igual à frequência 2 Pi, não importa o que eu fizer com o meu sinal. Então para eliminar essa imagem eu tenho que trabalhar no mundo analógico. E aí o que é que eu faço? Eu passo por filtro para eliminar as imagens. Esse filtro aqui. Então esse filtro vai pegar o sinal Y de t, que é esse camarada em preto aqui, e simplesmente vai cortar essa imagem e todas as outras imagens que tem aqui pra frente. Ele não vai causar nenhuma distorção aqui e vai eliminar desse ponto em diante. Então ele tem uma faixa de passagem, esse filtro que não distorce a frequência de interesse mas que rejeita daqui para a frente, de forma que a transformada de Fourier agora, o espectro de frequência do sinal reconstruído passa a ser: alguma coisa aqui entre 0 e a frequência máxima que é o sinal original distorcido pela transformada do pulso e a partir daqui eu tenho aqueles ruídos e aqui eu tenho uma coisa altamente atenuada. A partir daqui eu tenho uma atenuação dada pela atenuação do meu filtro, está bom? Agora falta só eu corrigir essa distorção, mas eu conheço qual é o pulso usado no meu conversor digital para analógico, então para eliminar a distorção eu simplesmente passo por filtro que tenta compensar. Se o conversor digital para analógico dá ganho de meio em alguma frequência eu antes de jogar lá ou depois de jogar lá eu multiplico isso aqui por 2 e compenso esse ganho. Então eu passo o meu sinal finalmente por filtro que vai compensar as distorções. E aí olha o que é que vai acontecer, eu tinha originalmente aqui sinal em frequência com o sinal de interesse algum ruído dentro da minha faixa de interesse e outras coisas fora da minha faixa de interesse que não me interessam, eu não quero ganhar eles. Depois que eu fiz toda essa operação aqui conversão analógico digital, digital para analógico eliminei as imagens e compensei as distorções, eu tenho sinal reconstruído aqui, que é exatamente igual ao meu sinal original na faixa de interesse e fora da faixa de interesse eu tenho algum ruído que não me afeta muito. Qual é a conclusão? É que se a gente escolher corretamente os filtros e a frequência de amostragem, a gente consegue recuperar perfeitamente o sinal de interesse após uma amostragem bem feita e esse é o famoso Teorema da Amostragem. Isso conclui o nosso curso, espero que vocês tenham aproveitado, se divertido pouco, adquirido interesse por essa área de processamento de sinais e eu espero vê-los em outros cursos aqui do Coursera ou em eventualmente outros cursos que eu mesmo venha a oferecer. Obrigada pelo interesse, obrigada pela atenção e até à próxima! [MÚSICA]
