Nous allons dans cette video nous intéresser à la propagation d'un faisceau lumineux monochromatique c'est à dire un problème symétrique de celui que nous avons vu dans le domaine temporel, mais cette fois-ci nous allons nous intéresser à un champ qui dépend des coordonnées transverses x et y. Pour un faisceau se propageant selon l'axe z. Nous connaissons déjà la solution du problème, puisqu'on a vu dans la solution générale de l'équation de propagation grâce à l'utilisation de l'espace de Fourier, qu'on pouvait décrire le champ dans sa décomposition en ondes planes monochromatiques. En l'occurrence on va supposer que le champ lui-même : E de r et de t est un champ monochromatique. Donc il ne va dépendre que de, dans le domaine temporel, de l'exponentielle moins i oméga t, enfin, il va dépendre du temps uniquement au travers de cette dépendance à une exponentielle complexe, exponentielle moins i oméga t, et donc ce qui va nous intéresser c'est la fonction E de r, dépendant des coordonnées spatiales. Ce qu'on a vu c'est que cette fonction E de r pouvait s'écrire sous la forme d'une intégrale de Fourrier à trois dimensions, donc l'intégrale de E de k x, k y, k z, intégrée sur k x, k y et k z, avec ce facteur ici habituel dans la transformée de Fourier, simplement avec trois dimensions. Alors ce champ E de k dans un espace de Fourier, il doit obéir à certaines conditions pour que notre champ E de r soit solutionné en équation de propagation. Il faut d'une part que le champ soit transverse, donc pour toute valeur de k, on devra avoir k scalaire E de k égal à zéro. Donc le champ est selon une direction perpendiculaire à k. Et par ailleurs on a vu que la fonction E de k x, k y, k z était non nulle seulement lorsque le vecteur k était sur une sphère, c'est à dire que la norme de k était égale à une fonction k de oméga qui est pour chaque fréquence déterminée par les propriétés du matériau en d'autres termes par l'indice de réfraction : n de oméga, et dans cette video, comme la fréquence ne va pas changer, on va simplement appeler k cette valeur qui est onc une propriété du matériau pour la fréquence considérée. Sachant que l'on a écrit cette fonction à l'aide des fonctions de l'espace de Fourier ; je vous rappelle qui si on prend les valeurs moyennes de k x, k y, k z, ou k x carré, k y et k z carré, on va pouvoir appliquer la relation que vous avez démontrée en exercice pour t et oméga. Donc x et k x qui sont deux variables conjuguées par transformée de Fourier, vont obéir à la relation delta x, delta k x, supérieurs ou égal à un demi. On aura donc ces trois relations pour x, y et z. En d'autres termes, si on veut faire un faisceau lumineux qui est, qui va être localisé dans l'espace réel, c'est à dire qu'il ne peut pas occuper tout l'espace contrairement à une onde plane, mais qui sera localisé sur une dimension transverse finie, on va être obligé de construire un paquet d'ondes, c'est-à-dire de superposer un certes nombre d'ondes planes monochromatiques et l'extension dans l'espace réciproque minimum dont on aura besoin sera donnée par ces relations. Donc si je veux un faisceau qui soit localisé dans l'espace des x, sur une certaine dimension delta x, j'aurais au minimum besoin d'utiliser des vecteurs d'ondes k x tels que delta k x est supérieur ou égal à un sur deux delta x. Je rappelle comment nous étions arrivés à cette relation que le vecteur k était sur une sphère de rayon k de oméga ; en fait nous étions arrivés dans l'espace de Fourier à la relation : moins k x carré moins k y carré, moins k z carré, plus k de oméga au carré ; multiplié par le vecteur E de k égal à zéro. Cela c'était l'équation à laquelle on était arrivé dans l'espace de Fourier, et on a vu qu'il y avait deux solutions : soit E de k est égal à zéro, soit le vecteur k x, k y, k z était sur cette sphère de rayon k de oméga ; et si je refais le chemin à l'envers, vous vous rappelez que moins k x carré c'est la dérivée seconde du champ en fonction de x, et donc cette équation elle s'écrivait d deux sur d x deux plus, donc ça c'est pour le terme moins k x carré, plus d deux sur d y deux, pour le terme en k y carré, plus d deux sur d z deux, plus évidemment k de oméga au carré, le tout agissant sur le champ dans l'espace réel, est égal à zéro. C'est une équation différentielle qui s'appelle l'équation de Helmholtz qu'on rencontre très souvent en physique, avec donc le Laplacien plus k deux, puisque k de oméga je vais l'appeler simplement k, plus k deux, e de r est égal à zéro. J'ai simplement refais le chemin inverse et on retrouve l'équation de propagation générale qu'on avait établie, simplement je vous le rappelle où on avait négligé le terme en gradient divergence. Donc c'est cette équation de Helmholtz qu'il va falloir manipuler dans cette vidéo pour un champ dépendant des coordonnées spatiales. La difficulté avec cette équation c'est que c'est une équation du second ordre, donc, même si on connait la solution dans l'espace de Fourrier, comme on l'a vu, dans l'espace réel c'est une équation qui va être difficile à intégrer parce que c'est une équation du second ordre. Et on va voir dans cette video comment on peut, dans certaines conditions, se ramener à une équation du premier ordre. Dans la suite de cette video, nous allons nous intéresser au cas d'un faisceau faiblement divergent, comme celui qui est représenté ici, c'est à dire un faisceau qui se propage selon l'axe z, et dont les dimensions transverses vont faiblement augmenter en fonction de la propagation le long de l'axe z. Pour vous donner un exemple, je vais vous montrer le faisceau produit par ce pointeur laser : si je regarde à faible distance j'aurai une tache de l'ordre du millimètre, et cette tache va faiblement augmenter lorsque je déplace l'écran sur une distance de l'ordre de 50 centimètres. La deuxième chose que l'on remarque sur ce faisceau c'est donc qu'il a une dimension transverse, comme je l'ai dit, de l'ordre du millimètre pour une longueur d'onde légèrement supérieure à 500 nanomètres cela veut dire que j'ai un facteur de 1000, donc au moins trois ordre de grandeur entre la dimension transverse du faisceau lumineux et la longueur d'onde. Et on va voir tout de suite que ces deux propriétés, la faible divergence, donc non seulement sur 50 centimètres mais sur plusieurs mètres, la faible divergence et la dimension transverse, grandes devant la longueur d'onde, sont faites de propriétés qui sont reliées. Je vais appeler delta x la dimension du faisceau comme on l'a déjà fait selon l'axe transverse x, et on va voir comment, comme je le disais, c'est relié à la divergence du faisceau. Donc pour cela je regarde les ondes planes qui ont permis de construire ce faisceau dans l'espace de Fourier ; donc je rappelle que dans l'espace de Fourier les vecteurs d'ondes k x, k y et k z sont tous sur une sphère dont une portion est représentée ici en noir ; et comme j'ai un faisceau faiblement divergent, et bien en fait j'aurai besoin de vecteurs d'onde qui sont tous assez proches de la direction k z, donc qui correspond à l'axe de propagation z du faisceau lumineux. En d'autres termes pour fabriquer ce faisceau dont la dimension transverse delta x est grande, devant la longueur d'onde, j'aurai besoin d'une faible portion de cette sphère qui est représentée en rouge ici correspondant à une dimension delta k x, dans l'espace réciproque. C'est une façon de définir ce qu'on appelle l'approximation paraxiale c'est de faire l'hypothèse que delta k x est très inférieur à k, donc k, la norme du vecteur, qui je le rappelle est égal à k de oméga, propriété du matériau. Dans toute cette video, on supposera delta k x très inférieur à k. Je vous rappelle ce que cela va impliquer sur delta x : on avait cette relation delta x delta k x supérieur ou égal à un demi, cela veut dire que delta x va être supérieur ou égal à un sur deux delta k x, mais comme delta k x est lui-même très inférieur à k, cela veut dire que delta x va être très supérieur à un sur deux k. C'est une conséquence de notre approximation paraxiale, comme on a supposé que delta k x était très inférieur à k, et bien delta x sera très supérieur à un sur deux k, k c'est par définition : deux Pi sur lambda, avec éventuellement un indice de réfraction que je ne vais pas écrire ici mais donc vous voyez que cela veut dire que delta x devra être très supérieur à, si k est égal à deux Pi sur lambda, lambda sur quatre Pi. Obligatoirement, si je suis dans le cadre de l'approximation paraxiale, le diamètre transverse du faisceau sera très supérieur à la longueur d'onde. Ce qui effectivement était le cas pour notre faisceau lumineux qui avait un diamètre de l'ordre du millimètre, et en gros cette approximation paraxiale sera valable pour un faisceau qui est plus large que quelques fois la longueur d'onde. Par contre ce ne sera pas valable évidemment pour une source ponctuelle qui émet de la lumière dans toutes les directions. Alors le fait que le diamètre du faisceau soit grand nous incite à introduire l'enveloppe du faisceau lumineux, donc la fonction que je vais appeler u de r, c'est à dire que je vais écrire que le champ e de r est égal au produit de u de r par la porteuse exponentielle i k z, puisque évidemment j'ai imaginé un faisceau qui se propage selon l'axe z. Donc si c'était une onde plane monochromatique, une seconde plane elle s'écrirait sous la forme exponentielle i k z, ici comme j'ai un faisceau de dimensions limitées je multiplie cette onde plane par une fonction enveloppe, u de r, et cette enveloppe, comme on l'a vu, va varier lentement, à l'échelle de la longueur d'onde
