[SON] [AUDIO_VIDE] Bonjour, cette séance a pour objet la théorie des ensembles, cela pourra servir à ceux d'entre vous qui ne sont pas à l'aise avec ces notions, que nous utilisons tout au long de ces cours. Et donc, je vais vous faire quelques rappels sur la notion d'événements aléatoires, que nous avons vue au cours un, séance deux. Nous avons vu qu'un événement aléatoire, associé à une expérience aléatoire, c'était un sous-ensemble de l'espace des états, oméga, dont on peut dire, au vu de l'expérience, s'il est réalisé ou non. Il y avait deux événements particuliers, qui étaient : l'événement impossible, que l'on avait noté ensemble vide, et l'événement certain, qu'on notait oméga. Donc, la première notion, qu'on a déjà vue et qu'on passe en revue, est celle d'événement contraire. Donc, il est d'usage de noter les ensembles sous forme de diagramme, comme cela, je vais utiliser cela au long de cette séance. Donc si on a un événement A dans oméga, l'événement contraire, qu'on note A complémentaire, avec un petit c comme ça, c'est tout simplement l'ensemble des petits oméga dans le grand oméga, qui n'appartiennent pas à l'ensemble A. Autrement dit, c'est cette partie, rouge ici. Ca c'est la première notion. Les propriétés suivantes, vous pouvez vérifier aisément qu'ils découlent directement de la définition, sont que, si l'on prend le complémentaire du complémentaire, on retombe sur l'événement de départ, le complémentaire de l'événement impossible c'est oméga tout entier, et réciproquement, le complémentaire de l'espace d'état, c'est l'ensemble vide. L'événement impossible. Si on a deux événements A et B, il y a un nouvel événement qu'on peut définir, que l'on note A union B ; et on dit que c'est la réunion de A et de B. Et en fait on peut la définir de la façon suivante : c'est l'ensemble des réalisations, petit oméga dans grand oméga, tel que oméga est dans A ou dans B. Et si on fait ce petit diagramme, c'est la partie rouge qui est ici. Un autre événement naturel que l'on peut définir à partir de deux événements A et B, c'est l'intersection, que l'on note A inter B, comme ça, et en terme de petit oméga, c'est l'ensemble des éléments d'un grand oméga, qui sort à la fois dans grand A et dans grand B. Et donc c'est cette zone rouge ici, si A est cet ensemble par exemple, et B celui-là. Alors, deux propriétés fondamentales de la réunion de l'intersection, sont : la commutativité, et l'associativité. La commutativité est assez évidente, il s'agit d'observer que si l'on prend l'union de l'événement A et de l'événement B, la réunion de A et de B, en fait, c'est pareil que la réunion de B et de A. Idem pour l'intersection : l'intersection de A et de B, c'est la même chose que l'intersection de B et de A. Ces deux propriétés ont assez évidentes. Une autre propriété très importante est : l'associativité. Donc, si maintenant, nous avons trois événements : A, B et C, en fait, on peut d'abord prendre l'union de A et B, et ensuite prendre l'union avec C ; ou bien, d'abord prendre l'union de B et de C, et ensuite, prendre l'union avec A. Et de même avec les intersections. On a les propriétés suivantes, que je vais vous décrire : La première est que, si on prend un événement et qu'on le réunit avec lui-même, on trouve le même événement. Si on intersecte un événement avec lui-même, c'est l'événement lui-même. Si on réunit un événement avec l'événement impossible, on trouve l'événement A. Si on intersecte l'événement A avec l'événement impossible, on trouve l'ensemble vide. Si on prend la réunion de A avec toutes les possibilités, c'est-à-dire oméga, on trouve oméga. Par contre, si on intersecte l'événement A avec toutes les possibilités, en trouve A. Enfin, si on prend la réunion d'un événement et de son événement contraire, on trouve tout l'espace possible, qui est oméga donc. Et, si on prend l'événement et qu'on l'intersecte avec son complémentaire, on tombe sur l'ensemble vide, l'événement impossible. Une autre propriété très importante, quand on veut mélanger les intersections et les réunions, c'est la distributivité de ces deux opérations, l'une par rapport à l'autre. Donc par exemple, le fait que l'on prenne l'intersection de A avec l'union de B et de C, c'est la même chose que prendre l'union de l'intersection de A et B, et de A et C. Je vais vous montrer ça sur un petit dessin... Si je dessine donc mes trois ensembles comme ceci, disons que celui-là est A, celui-là est B et celui-là est C, dire que je regarde A inter B union C, c'est dire que je regarde cette partie-là : B union C c'est toute cette partie que je hachure, et maintenant, je prends l'intersection de A avec cet ensemble hachuré, et ça me donne cette zone-là. Bon. Maintenant, je recommence mon dessin, en remettant les trois ensembles, donc je remets A, B et C, mais je vais le voir différemment, je vais d'abord prendre l'intersection de A et de C, qui est cette zone, ensuite je vais prendre l'intersection de A et de B, qui est cette zone, et maintenant, je vais unir les deux. Donc si j'unis les deux, j'obtiens cette zone-là. Et donc, on a bien A inter B, union A inter C. C'est la même chose que ce qu'on a fait à gauche, qui est A inter B union C. Vous pouvez faire de même avec la distributivité de l'union par rapport à l'intersection, ici, et ce qui va être très naturel dans la suite, c'est d'étendre ce qu'on vient de dire, à un nombre fini d'événements. Donc, si on a une famille, non vide bien sûr, d'événements A i, donc i c'est un certain ensemble d'indices, qui va repérer nos événements, on peut toujours définir sa réunion, qu'on note comme ça, et son intersection. Et ceci, le fait que ça soit bien défini, c'est dû au fait qu'on peut considérer les unions et les intersections dans l'ordre que l'on veut. Et si je vous fais un petit exemple avec un ensemble d'indices de cardinalité trois, vous voyez que si on note l'union des A i de i égal un à trois, on fait tout simplement A1 égal A2 égal A3, que l'on peut représenter par ce diagramme. Pareil pour l'intersection, hein, donc vous voyez, on peut d'abord considérer par exemple l'intersection de ces deux-là, puis intersecter avec A3, ou faire l'inverse, le résultat est le même grâce aux propriétés que nous avons vues précédemment. Ensuite, on peut se poser la question de ce qui se passe pour une famille non vide d'événements par rapport à l'intersection et le passage de complémentaires, et pareil pour l'union, et je vous laisse vérifier, que si vous prenez une union d'événements, que vous passez au complémentaire, vous retrouvez l'intersection des événements contraires. De même, si on prend l'événement contraire à l'intersection de ces événements, on trouve : réunion des complémentaires des événements. Et ce qu'on a dit sur la distributivité de ces opérations de réunions et d'intersections, cela se comporte très bien, quand on a, donc, union finie d'événements. Donc, je vous laisse vérifier ces propriétés, donc, tout à l'heure nous avions simplement pris l'union de deux ensembles ici et là nous avions pris l'intersection de deux ensembles. En fait ça se généralise aisément par induction. Une extension extrêmement utile, et qu'on utilise tout le temps en probabilités, est celle d'un nombre dénombrable d'événements, et voilà comment on définit la réunion d'un nombre dénombrable d'événements, qu'on note comme ça, où pi c'est un ensemble infini mais dénombrable, comme l'ensemble des entiers naturels, vous regardez l'ensemble des petits oméga dans oméga, tel que il existe un i tel que oméga est dans l'événement A i. Donc cette union dénombrable, c'est une façon de dire qu'il existe au moins un des événements, où oméga tombe. Pour l'intersection on procède de même, L'intersection d'un ensemble dénombrable d'événements, ça consiste à dire qu'on regarde l'ensemble des oméga dans grand oméga, tel que pour tout i, oméga appartient dans i. Autrement dit, omega est dans tous les événements A i. Une autre notion que nous avons déjà vue et que je rappelle, c'est celle d'événements incompatibles, ou disjoints, et deux événements A et B sont dits incompatibles ou disjoints si leur intersection est l'ensemble vide. Autrement dit, on ne peut pas avoir simultanément l'événement A et l'événement B qui se réalisent. Et donc, on peut définir pour deux événements A et B, le complément relatif de A dans B, qu'on note : B privé de A, qu'on peut définir de façon équivalente comme B intersecté avec le complémentaire de A, et en terme d'ensemble de petits oméga, c'est l'ensemble des réalisations, tel que, oméga est dans B mais il n'est pas dans A. Donc si vous avez l'ensemble B et l'ensemble A, c'est B privé de A, donc le complément relatif de A dans B, c'est la parti rouge. Leur différence symétrique qu'on note A, avec le triangle c'est à dire le delta, B, est définie de la manière suivante : on peut soit voir que c'est l'union des compléments relatifs, c'est une première façon de le voir, et je vous laisse vérifier que C'est en utilisant les règles que nous avons précédemment vues, et on peut aussi le voir comme la réunion privée de l'intersection. Autrement dit, si l'ion prend ce dessin, si A et B sont là, on prend l'union, qui est tout : la partie rouge plus la partie blanche centrale, et on retranche la partie blanche, et il nous reste donc ces deux croissants. Une autre notion très importante, est celle d'événement impliquant un autre événement. Alors, on dit que l'événement A implique l'événement B si, le fait que oméga ça appartienne à A, ça implique le fait que oméga est également dans B. Et on note A inclus dans B. En termes ensemblistes, il est commode de dire que B contient A. De manière équivalente, on peut dire que l'événement A est inclus dans l'événement B, si A s'écrit comme l'intersection de A et B. Nous allons passer en revue quelques propriétés, qui en fait montrent que la relation d'implication est une relation d'ordre sur l'ensemble des événements. on avait bensûr que A implique lui-même, ensuite une autre propriété importante est que si un événement A implique un événement B, et que l'événement B implique l'événement A, alors on ne peut pas distinguer ces événements et on dit qu'ils sont égaux. Et une autre propriété est que, si l'événement A implique l'événement B, et que l'événement B implique l'événement C, alors on a une transitivité qui est que l'événement A implique l'événement C. Donc vous avez également ces deux autres propriétés qui sont que, si l'événement A implique l'événement C, que l'événement B implique l'événement C, la réunion de A et B est inclue dans C. Et si C implique l'événement A et que C implique l'événement B, en fait, l'intersection de ces deux événements contient l'événement C. Une autre notion que nous allons utiliser de nombreuses fois, est celle de partition de l'ensemble oméga. Et donc, une partition est une famille de parties non vides de oméga, avec les propriétés suivantes : I est l'ensemble qui indice nos événements. Ca peut être un ensemble fini, ou plus généralement dénombrable, si on prend deux indices différents, les événements correspondants sont deux à deux disjoints, donc les événements sont incompatibles. Et si l'on prend la réunion de tous les événements Ai, on retrouve exactement l'ensemble oméga, tous les possibles. Une autre notion qui sera très utile, est celle d'indicatrice d'un ensemble, qu'on note avec ce 1 particulier indice A. L'indicatrice de A, évaluée en petit oméga, elle vaut 1 si oméga est dans l'ensemble A, et 0 si elle n'appartient pas à l'ensemble A. Et je vous laisse vérifier les propriétés suivantes, sur les intersections, le complémentaire, et la différence symétrique, j'ai mis ces trois là, qui se transmettent à cette fonction indicatrice, qui est que si l'on prend l'indicatrice de deux événements A et B, en fait c'est le produit des indicatrices ; si vous prenez l'indicatrice du complémentaire de A, vous trouvez 1 moins l'indicatrice de A, et si vous prenez l'indicatrice de la différence symétrique, vous obtenez en valeur absolue la différence des deux indicatrices. Donc c'est un exercice que je vous laisse faire, qui montre aussi que l'indicatrice va être très pratique pour calculer les intersections des unions des complémentaires. Nous en venons à une notion extrêmement importante aussi en probabilités, qui est de pouvoir manipuler des suites d'événements, et en particulier de voir dans quel sens on peut définir des limites d'événements, et nous avons besoin d'un peu de terminologie : la première est la notion de suite d'événements croissante, et en fait, je dirais que vos An, vos événements N croissent, si A1 est inclus dans A2, est inclus dans A3, etc. De manière complémentaire, on parlera de suite d'événements décroissante si A1 contient A2, qui lui-même contient A3, etc. Et de la même manière que les suites numériques n'ont pas forcément une limite, en fait, quand on considère des suites d'événements, il n'y a pas de raison que la limite existe ; par contre, de la même manière que pour les suites numériques, nous avons une notion de limite inférieure et de limite supérieure de suite d'ensembles, que je vais maintenant introduire, et nous verrons ensuite comment les manipuler un petit peu. Donc la limite inférieure ou lim inf de la suite An, c'est par définition l'union de n = 1 jusqu'à l'infini, de l'intersection à partir de n, de tous les événements qui suivent. La limite supérieure ou lim sup de An se définit par l'intersection de ces unions, et chacun de ces événements qui est une union, c'est l'union de ces événements à partir de n jusqu'à l'infini. Et une façon peut-être plus parlante, mais qui est équivalente mathématiquement, de comprendre que ce sont deux ensembles, parce que ces objets sont des ensembles : dire que oméga est dans la limite inférieure des An, autrement dit, dire que oméga réalise cet événement, c'est équivalent au fait qu'il existe un entier, n, tel que pour tout entier m plus grand que cet entier, vous êtes dans Am. De même, dire que oméga est dans la limite supérieure de A, c'est équivalent au fait que pour tout n, vous avez un entier m plus grand que n, tel que oméga appartienne à Am. Et une manière de le dire de façon plus verbale, mais encore une fois qui est un peu moins précise, mais qui est équivalente, c'est de dire que le fait que oméga soit dans la lim inf des An, c'est que oméga est dan tous les An, sauf peut-être, pour un nombre fini d'entre eux que vous devez mettre de côté. De même, dire que oméga est dans la limite supérieure de An, signifie que oméga appartient à une infinité de An Et vous voyez tout de suite, avec un peu de réflexion, que vous avez cette inclusion, autrement dit, la lim inf des An est forcément inclue dans la lim sup des An, tout simplement parce que cette propriété est plus faible que celle-là. Du moment que vous avez exclu un nombre fini d'entre eux, ici tout ce que vous savez, c'est que vous appartenez à une infinité de An. Alors maintenant on peut se poser la question : quand est-ce qu'on a une chance que la limite d'une suite d'événements existe? Comme vous l'avez sans doute deviné, on dit que la limite de An, cette suite d'événements existe si la lim inf et la lim sup coïncident. Donc on a notre lim n de An. Et deux cas particuliers très importants où l'on sait qu'une limite d'événements existe, est que si la suite d'événements est croissante, alors, on peut démontrer que la limite, c'est simplement l'union des événements. Et un autre cas où l'on sait que cette limite existe, c'est quand cette suite est décroissante. A ce moment-là, la limite, c'est l'intersection. Nous allons voir la démonstration du premier résultat. La deuxième est tout-à-fait analogue. Donc ce que nous voulons démontrer, est le fait que, si An est croissante, alors, la limite des événements An, c'est l'union de ces événements. C'est notre but. Donc, en fait, nous allons commencer par calculer la lim inf des An. Et en fait, nous allons voir tout de suite, que cette lim inf est exactement l'union des An. La raison, c'est que, par hypothèse la suite des An est croissante, donc si vous prenez An il est inclus dans An + 1, qui lui-même est inclus dans An + 2, etc, et donc, quand on prend l'intersection des Am à partir de n, et qu'on continue cette intersection indéfiniment, vous voyez qu'elle coïncide avec An. Si on fait un petit dessin, si on représente An comme ça, An + 1 comme ça, An + 2 comme ça, etc, on constate effectivement que l'intersection de tous ces événements, comme ils sont emboîtés, c'est tout simplement Am. Donc, la lim inf de ces événements qui forment une suite croissante, c'est exactement l'union. Comme nous avons vu comme fait général, que la lim inf des An est nécessairement inclue dans la lim sup des An, il reste à démontrer l'inclusion dans l'autre sens qui est que la lim sup des An est inclue dans la lim inf des An. Et ça c'est assez facile de le voir, puisque la lim sup des An est inclue dans l'union des An puisque la lim sup, par définition, contient l'intersection de cet ensemble avec le même, vous démarrez avec 2, puis avec 3, puis avec 4 etc, donc c'est nécessairement inclus dans celle-là, et ça, on vient de voir que c'est exactement la lim inf des An. Donc, nous sommes bien arrivés à la conclusion que la lim inf des An est égale à la lim sup des An, et est égale à l'union des Am. Nous venons donc de démontrer cette partie de la proposition. Et en raisonnant tout-à-fait de la même manière, nous montrerions que, quand la suite est décroissante, la limite coïncide exactement avec l'intersection des événements. Ceci achève cette séance supplémentaire, sur laquelle vous pourrez vous pencher, si vous avez des ennuis avec la théorie des ensembles et la manipulation des ensembles.
