Hola, en este video vamos a hacer la presentación de dos conceptos muy sencillos asociados a los conjuntos difusos. Los conceptos son, los de soporte de un conjunto difuso y alfa-cortes de un conjunto difuso, comencemos. El soporte, el soporte es un subconjunto del universo de discurso. Son aquellos elementos del universo de discurso que tienen grado de pertenencia a un conjunto mayor que 0. Los que pertenencen, así sea algo muy pequeño, al conjunto difuso. Un ejemplo muy sencillo, tomamos como universo de discurso los deportes y definimos el conjunto difuso, utilizamos la notación sumatoria. A propósito, la notación sumatoria también se conoce como notación de Zabeb, y definimos ese conjunto A. ¿Cuál es el soporte? El soporte son esos elementos del universo de discurso que tienen grado de pertenencia mayor que 0. En este caso, son cuatro elementos, el surf que tiene grado de pertenencia 0.5, la natación que tiene grado de pertenencia 0.7. La equitación que tiene 0.3 y el snowboard que tiene grado de pertenencia 1. Bien, hagamos ahora un ejemplo con un universo de discurso continuo. La recta real, definimos un conjunto difuso a través de la función de pertenencia que se grafica. El soporte son esos elementos del universo de discurso que tienen grado de pertenencia mayor que 0. En este caso, el intervalo 1 al 9, que dónde hay un grado de pertenencia mayor que 0. Veamos otros ejemplos con universos de discurso continuo. Por ejemplo, este conjunto difuso que tiene la particularidad de que son dos trapecios. Nadie ha dicho que los grados de pertenencia tengan que estar contiguos, aquí hay una discontinuidad en esos grados de pertenencia. Y si buscamos el soporte, el soporte resulta ser entonces dos intervalos, la unión de esos dos intervalos, tal como se puede ver ahí. Un ejemplo más con universo continuo, con la recta real. Un conjunto muy particular que utilizaremos en algunas ocasiones, un conjunto del tipo Singleton. Los Singleton so unos conjuntos que tienen grado de pertenencia 0 en todo el universo de discurso, salvo en un valor. Ahí está esa singularidad del Singleton, y en esa singularidad tiene un grado de pertenencia 1. Entonces, el soporte de un conjunto difuso de este estilo, pues es justamente esa singularidad, soporte. El segundo de los conceptos que queremos trabajar en este video es el de alfa-corte de un conjunto difuso. Entonces el alfa-corte también es un subconjunto de universo de discurso. Alfa hace referencia a un número que vamos a seleccionar entre 0 y 1. Y vamos entonces a encontrar cuáles son los elementos del universo de discurso que tienen un grado de pertenencia mayor o igual a alfa. Si seleccionamos alfa, por ejemplo en 0.3, entonces deberiamos buscar los elementos del universo de discurso cuyo grado de pertenencia es mayor o igual a 0.3. Se hace un excepción en la definición. Cuando Alfa es 0, en lugar de pensar en el mayor o igual a 0, utilizamos el mayor. Pues porque mayor o igual sería todo el universo de discurso. Pero claro, si estamos hablando del mayor que 0, realmente la definición nos dice que cuando Alfa es 0 lo que hay que buscar es el soporte de ese conjunto difuso A. Un ejemplo, comenzamos con un universo discreto, los deportes, y definimos ese conjunto difuso con los grados de pertenencia que están allí. Bien, y ahora busquemos cuál es el alfa-corte cuando alfa es 1. Serían entonces todos aquellos elementos del universo de discurso cuyo grado de pertenencia es mayor o igual que 1. En este caso, únicamente el snowboard. Si bajamos alfa y ahora lo definimos, por ejemplo, en 0.8, y ahora nos preguntamos, cuál es el alfa-corte para 0.8. Deberíamos buscar los elementos del universo de discurso cuyo grado de pertenencia es mayor o igual que 0.8. Y en este ejemplo sigue siendo el snowboard. Pero bajemos un poquito más, si bajamos por ejemplo hasta 0.7. Hasta 0.7, entonces entran dentro del alfa-corte un elemento más, el elemento que entra ahora es la natación, que tiene grado de pertenencia 0.7. Y este es un dato importante. Si vamos bajando el valor de alfa desde 1 hacia 0, los conjuntos van creciendo, se van incorporando más elementos. Lo que decimos, entonces, es que esos alfa-cortes están anidados uno dentro del otro. Siendo el más pequeñito, el de alfa igual a 1, y creciendo ese conjunto resultante conforme bajamos en el valor de alfa. Sigamos en nuestro ejemplo, bajemos alfa hasta 0.4 y se incorpora un nuevo deporte. En este caso, entra también el surf que tiene grado de pertenencia 0.5. Y si bajamos hasta 0, debemos reemplazar, recuerden, el mayor o igual por un mayor y nos quedamos con el soporte de ese conjunto. Que son los cuatro deportes que ustedes ven allí. Vamos ahora a un ejemplo sobre el universo de discurso continuo en la recta real, definimos este conjunto difuso y buscamos el alfa-corte para alfa igual 1. Trazamos una línea en 1 y vemos cuáles son los elementos del universo de discurso que quedaron ahí o arriba de esa línea al interceptar la función de pertenencia. En este caso, el intervalo [4, 5], pero si bajamos el valor de alfa hasta 0.75, ese intervalo creció. Y ahora el alfa-corte resulta ser el intervalo 3 con 5, 5 con 6, creo que ese es el valor. Y si seguimos bajando se incrementa el valor de ese intervalo, cuando llegamos a alfa igual a 0, tenemos el soporte del conjunto. Otro ejemplo, un conjunto difuso definido por un trapecio y un triángulo, todo ese es el mismo conjunto difuso. Y si buscamos el alfa-corte, por ejemplo 0.5. Identificamos cuáles son los elementos del universo de discurso que tienen grado de pertenencia mayor o igual, y resultan ser dos intervalos. El alfa-corte entonces sería entonces la unión de esos dos intervalos. Un caso muy particular, un conjunto difuso con una discontinuidad en la función de pertenencia. Realmente con dos discontinuidades, las discontinuidades aquí aparecen para x igual a 3 y para x igual a 7. ¿Cuál es el grado de pertenencia en tres? Cuál es el grado de pertenencia en siete?. Bueno, lo hemos representado con el círculo relleno de color azul. Es decir, el grado de pertenencia en 3 corresponde al valor más pequeño en esta discontinuidad. Y en 7 el grado de pertenencia corresponde al valor más alto en el ejemplo que acabamos de inventar ¿no es verdad? Bueno y que pasa, entonces, si hacemos un alfa-corte justo ahí en la mitad de esa discontinuidad. ¿Cuáles son los elementos que tienen un grado de pertenencia mayor o igual a 0.5 en este caso? Bien, es el intervalo (3, 7]. Pero, y este es un dato importante, observen que el 3 no forma parte de ese intervalo, mientras que el 7 sí. Es decir, es el intervalo abierto en 3 y cerrado en 7. Este ejemplo va a ser muy importante a la hora de definir la noción de número difuso que se da en un módulo posterior. Bien, recapitulando, hemos presentado dos definiciones muy sencillas asociadas a conjuntos difusos, soporte y alfa-cortes. Ambos son subconjuntos del universo de discurso. Muchas gracias.
