Hola. En este vídeo vamos a presentar las operaciones básicas entre conjuntos difusos. Son las mismas tres operaciones básicas de los conjuntos concretos: unión, intersección y complemento. Pero ¿cómo se realizan ahora con conjuntos difusos? Comencemos con la unión. Para eso, imaginemos un universo de discurso, el universo de discurso de nuestros deportes, y necesitamos definir 2 conjuntos para realizar la unión. La unión es una operación binaria, necesitamos 2 conjuntos y vamos a generar un nuevo conjunto. Por ejemplo, el conjunto A, con una selección de 5 de los elementos del universo de discurso, los que ustedes ven allí, y el conjunto B, con otros elementos del universo de discurso. La unión de esos 2 conjuntos es un nuevo conjunto. Es un conjunto que toma todos los elementos de A y todos los elementos de B. Para formar parte de la unión, basta con formar parte de A o de B. Muy bien. Vamos a decir eso mismo con grados de pertenencia. Partimos del universo de discurso e identificamos todos los elementos en una tabla que vamos a construir. A la hora de definir el conjunto A, lo que hemos hecho es asignar un grado de pertenencia de 1 o de 0 a todos los elementos del universo de discurso. 1 a los que están en A, 0 a los que no están en A. Como puede verse, por ejemplo, con el atletismo. El atletismo está dentro de A, entonces tiene grado de pertenencia 1. Hacemos lo mismo con el conjunto B. Identificamos el conjunto B, asignando los grados de pertenencia a todos los elementos del universo de discurso. Ahora, la unión. La unión, es un nuevo conjunto. Ese nuevo conjunto tendrá grado de pertenencia. ¿Cuál es el grado de pertenencia? ¿1 o 0? 1 si está en la unión, 0 si no está en la unión, como puede verse. Ahora, lo que queremos es identificar cómo debemos operar sobre los grados de pertenencia de A y de B para obtener el grado de pertenencia de la unión, y es muy sencillo. El grado de pertenencia en la unión va a ser 1 si es 1 para A o para B, del resto será 0, como se puede ver en esta tabla. Si el grado de pertenencia para A es 0, y 0 es porque el elemento no forma parte ni de A ni de B, entonces no forma parte de la unión y el grado de pertenencia será 0. Los otros casos dan 1, porque pertenece al menos a 1 de los 2 conjuntos. Lo que es interesante es que podemos utilizar una función matemática, como por ejemplo el máximo, para hacer el cálculo del grado de pertenencia. Podemos calcular el grado de pertenencia en la columna en rojo, aplicando el operador máximo sobre los que están en azul. El máximo de 0 y 0 es 0. El máximo de 0 y 1 es 1. El máximo de 1 y 0 es 1. El máximo de 1 y 1 es 1. Tenemos una forma matemática de calcular los grados de pertenencia. Llevemos esta idea del uso de esa función matemática a los conjuntos difusos. Imaginemos ahora 2 conjuntos difusos, ya el ejemplo lo vamos a hacer sobre la recta real. Por ejemplo, conjunto difuso A definido por ese triángulo que tiene vértices en 1, 2 y 3, y un segundo conjunto difuso definido sobre el mismo universo de discurso B. El ejemplo es de otro triángulo distinto, con vértices en 2, 3 y 4. Y lo que queremos ahora, es hacer la unión de esos 2 conjuntos. Dibujémoslos sobre la misma recta y ahora, apliquemos la función máximo para calcular el grado de pertenencia a la unión. Es ese nuevo conjunto difuso que toman. Para cada valor de X el valor más grande de los grados de pertenencia de A y de B. Esta es la forma de realizar la unión en conjuntos difusos. Veamos ahora la intersección. Va a ser un desarrollo similar. Tenemos el mismo universo de discurso. Definimos la colección de elementos que llamamos A, conjunto A y conjunto B. Ahora, la intersección. La intersección, es un nuevo conjunto formado por aquellos elementos que están al tiempo en A y en B. En este caso, serían 2 conjuntos: el deporte de la escalada y el atletismo. ¿Cómo se hace con grados de pertenencia? Vamos a construir una tabla para poder dibujar allí, escribir allí los grados de pertenencia de A, de B y de la intersección. De A, unos y ceros, si forman o no parte del conjunto A. De B, unos y ceros, si forman o no parte del conjunto B. Y ahora, la intersección. ¿Cuándo estará un elemento en la intersección? Cuando forma parte tanto de A como de B. Es decir, cuando el grado de pertenencia A es 1 y a la vez el grado de pertenencia B es 1. En este caso, solo hay 2 elementos. ¿Cómo se puede calcular ese grado de pertenencia a la intersección? A partir del grado de pertenencia de A y de B podemos utilizar el operador mínimo. La tabla que mostramos allí muestra cómo serían los grados de pertenencia de la intersección. Fíjense, que solo es 1 si a la vez es 1 en A y en B. Una forma de calcularlo nos lo da la función mínimo. El mínimo de 0 y 0 es 0. El mínimo de 0 y 1 es 0. El mínimo de 1 y 0 es 0. El mínimo de 1 y 1 es 1. Utilicemos esta función para hacer intersección de conjuntos difusos. Volvemos al caso que utilizamos para explicar la unión difusa, pero ahora para hacer la intersección sobre los reales. Definimos un conjunto A, el triángulo con vértices en 1, 2, 3. El conjunto B, el triángulo con vértices en 2, 3, 4. Y ahora, dibujados sobre la misma recta real vamos a aplicar el mínimo. Vamos a calcular cuál es el valor más pequeño de los 2 grados de pertenencia para obtener el grado de pertenencia a la intersección. Y resulta ser un triangulito pequeño que ni siquiera sube hasta 1. Esta es la forma de hacer intersección con conjuntos difusos, operando sobre los grados de pertenencia con el operador mínimo. La tercera de las funciones es el complemento. El complemento es una operación que no es binaria. Trabaja solo sobre un elemento, un conjunto difuso, entonces va a ser más rápida la presentación. El ejemplo discreto, definimos un conjunto como el que se ve. El complemento es un nuevo conjunto difuso, el conjunto difuso de todos los elementos que están por fuera, los que no están dentro del conjunto. Sería en este caso, formado por 5 elementos, ¿cómo se ve con grados de pertenencia? La tabla muestra los grados de pertenencia de A. Y ahora, en rojo los del complemento de A. Ese complemento de A si antes era un 1, ahora hay que poner un 0. Si antes hay un 0, hay que poner un 1. ¿Cómo calculamos el grado de pertenencia del complemento a partir del grado de pertenencia del conjunto? Una forma de hacerlo es a través de la operación 1 menos el grado de pertenencia. Llevado al caso difuso, trabajémoslo de nuevo sobre el universo de discurso continuo de los reales. Y tenemos el conjunto A definido por el triángulo 1, 2, 3. Ese triángulo, entre otras cosas, podría representar aproximadamente 2, por ejemplo. ¿Qué pasa si aplicamos la operación 1 menos el grado de pertenencia? El resultado es el que se visualiza y podría significar algo así como distinto de 2, aproximadamente distinto de 2, en este ejemplo. Para resumir, tenemos la posibilidad de hacer las 3 operaciones básicas: unión, intersección y complemento con conjuntos difusos. Y la forma de hacerlo, o al menos una forma de hacerlo, va a ser con los operadores máximo, mínimo y 1 menos. ¿Cómo así que una forma de hacerlo al menos? Hay otras formas, y a eso está destinado nuestro siguiente vídeo. Gracias.
