Hola. Mencionamos en el video anterior que los sistemas difusos se basan en la teoría de conjuntos difusos. De esa teoría se desprenden otras, pero hay que comenzar entonces por conocer cuál es el concepto de conjunto difuso. Ese es el propósito de este video. Para eso vamos a comenzar primero, recordando cosas sencillas de la teoría de conjuntos digamos, convencional. Unos ejemplos. Si yo les solicito construir tres conjuntos, el conjunto de los países de América, de los dígitos, de las vocales en castellano, sabemos todos qué es lo que estoy pidiendo. No hay dudas a la hora de intentar construir esa colección de elementos que son las vocales en castellano, por ejemplo. Pero hay otras situaciones en donde, no es tan obvio decidir cómo está conformado ese conjunto. Cuatro ejemplo aquí. El de los adolescentes, ¿cuando se es adolescente y cuando no? ¿Hay un momento mágico de entrada a ese conjunto y un momento de salida? ¿Hay alguna condición completamente definida que nos permita decir que una persona es o no es, adolescente? Es más difícil definir ese conjunto. Los latinos, ¿cuáles son las condiciones socioculturales para hacer esa definición? ¿Tiene que ver sólo con un tema de nacimiento? Probablemente, no. De manejo de tantas variables culturales, es muy difícil establecer si una persona pertenece o no directamente a ese conjunto y bueno, otros dos ejemplos allí sólo para que ustedes hagan sus reflexiones. ¿Qué es un conjunto, según la Real Academia? Una colección de elementos que tienen una propiedad en común. Esa es una de las acepciones, que es la que nos sirve desde el punto de vista matemático. Pero, ¿cómo trabajamos nosotros la teoría de conjuntos en matemáticas? Bueno, lo primero que hacemos es definir un universo de discurso, es decir, una colección de todas las cosas que nos puede llegar a interesar y dentro de ese universo de discurso, seleccionamos unos elementos, una colección de elementos para construir ese conjunto. Vamos con un ejemplo sencillo. Supongamos que el universo de discurso está representado por esos nueve íconos, pensemos que estamos hablando de nueve deportes representados por esos íconos y es lo único que nos interesa en la vida, los nueve deportes que están allí representados, ese es todo nuestro universo de discurso. En el momento en que yo selecciono algunos de ellos, por ejemplo estos tres, construyo un conjunto. Este conjunto A entonces, está constituido por tres elementos, por los deportes de atletismo, el surf y el ciclismo. Muy bien. En el momento en que yo hago eso, he dividido el universo en dos partes, lo que está dentro y lo que está afuera. Es decir en el momento en que construyo ese conjunto, a cada uno de los elementos del universo de discurso, sólo puede tener dos opciones, o está dentro o está afuera. Pertenecen o no pertenecen al conjunto A y utilizamos un símbolo para representar eso, la letra epsilon y la letra epsilon con una diagonal para representar la pertenencia o la no pertenencia, x pertenece a A, x no pertenece a A. Sólo para ilustrarlo, diríamos que el atletismo pertenece al conjunto A y que la equitación no pertenece al conjunto A. Muy bien. Miren, que tenemos varias formas de decir exactamente lo mismo. Tenemos un diagrama, el diagrama de Venn en donde representamos el conjunto. Tenemos una representación extensa de los elementos, tenemos la notación de pertenencia o no pertenencia. Bueno, hay otra forma de decir exactamente lo mismo, con el grado de pertenencia. Podemos asignar a cada elemento del universo de discurso, un grado de pertenencia.El El grado de pertenencia va a ser, o 0 o 1. Será 0 si no pertenece al conjunto A, será 1 si sí pertenece al conjunto A. Y vamos a utilizar la letra miu para representar ese grado de pertenencia. Miu sub A, el grado de pertenencia a A de x, sea 1 o 0. Por ejemplo, el grado de pertenencia del atletismo al conjunto A es 1 y el grado de pertenencia al conjunto A, es 0. Muy bien, eso ha sido suficiente para recordar los conjuntos convencionales pero es clave para lo que vamos a decir a continuación. Vamos a hacer la presentación en este momento, de los conjuntos difusos. ¿Qué tiene de particular, los conjuntos difusos? Que, los elementos pueden pertenecer parcialmente al conjunto. A diferencia del caso que acabamos de presentar, en donde cada elemento sólo puede estar o adentro o afuera, pertenecer completamente o no pertenecer completamente, en los conjuntos difusos se permite una pertenencia parcial. Y ¿cómo vamos a representar eso? Con el grado de pertenencia. Pero el grado de pertenencia ahora, no sólo va a ser 0 o 1, sino va a ser, cualquier número entre 0 y 1. Cualquier número en el intervalo cerrado 0,1. Por ejemplo, podrá haber un grado de pertenencia 0.3 y representará una pertenencia parcial a ese conjunto. Volvamos a nuestro ejemplo. Construyamos ahora un conjunto difuso con el mismo universo de discurso de los nueve deportes. Debemos asignar a cada elemento del universo de discurso, un grado de pertenencia. Por ejemplo a este conjunto B, yo he asignado arbitrariamente los valores que se ven. Al atletismo le asigné 0, eso significa que está completamente por fuera del conjunto. Al surf, 0.5. Al levantamiento de pesas, 1, lo que significa que están completamente adentro del conjunto. Si intentaramos dibujar el borde de este conjunto en el diagrama de Venn, nos veríamos en problemas porque, claramente podríamos dejar por fuera el atletismo que tiene grado de pertenencia 0 y adentro el levantamiento de pesas que tiene grado de pertenencia 1, pero por ejemplo con el ciclismo, ¿qué haríamos? El ciclismo tiene grado de pertenencia 0.5, no está ni adentro ni afuera completamente, está parcialmente adentro, parcialmente afuera. Por eso he representado con líneas punteadas ese supuesto borde de nuestro conjunto, porque no podemos plantear ese borde de manera nítida. Las frontera no son nítidas. Lasa fronteras son difusas y eso es lo que da origen al nombre de los conjuntos difusos. Hay otra forma de representar eso, es una notación sumatoria. Aun cuando utilizamos aquí el símbolo del más no es que vayamos a hacer una suma, es sólo una forma de describir un conjunto difuso. Conjunto difuso B utilizando esta notación sumatoria, entonces tiene los elementos y su grado de pertenencia representados en una fracción, que tampoco es una fracción, es sólo una forma de escribirlo. Y de manera digamos un poquito más compacta, suele en la notación sumatoria, eliminarse aquellos elementos cuyo grado de pertenencia es 0. La manera un poquito más resumida de representar nuestro conjunto B, entonces se utilizaría sólo la suma de esas fracciones donde el grado de pertenencia es mayor que 0, pero es sólo una forma de escribirlo. Y de manera, entonces más resumida, diríamos que un conjunto difuso se representaría con la notación sumatoria, por la suma de esas fracciones que tienen en el numerador, el grado de pertenencia y en el denominador, el elemento como tal. Pero insisto, no olvidemos que es sólo una sumatoria, una forma de escritura. Y cuando queremos referirnos a todo el conjunto, entonces podemos utilizar el símbolo de sumatoria. Ahora bien y esto es tambien importante. El ejemplo de los nueve deportes es un ejemplo en donde podemos enumerar cada uno de los elementos del universo. Decimos entonces que ese es un universo discreto y existen también universos de discurso, donde no podemos enumerar completamente los elementos porque son continuos, por ejemplo, la recta real o un intervalo de la recta real, que es continuo y hay infinitos elementos en ese universo de discurso. Cuando tenemos esa situación, simplemente cambiamos la notación de sumatoria por la de integral. Realmente en este curso, pocas veces utilizaremos esta notación. pero vamos a un ejemplo con universos de discurso continuos, porque esos sí van a ser muy útiles para nosotros en este curso. Supongamos que el universo de discurso es ahora la recta real. Presento aquí dos conjuntos difusos, el C y el D, cada uno con un color diferente. ¿Qué debo hacer para construir ese conjunto difuso? Debo asignarle a cada valor de la recta real un grado de pertenencia. Como es continuo, puedo dibujar. En estas condiciones, a veces se utiliza el término función de pertenencia, en lugar de grado de pertenencia, porque la función asigna el valor entre cero y uno del grado de pertenencia. Las formas que resultan pueden ser muy variadas y simplemente he dibujado dos funciones cualesquiera, pero va a ser usual utilizar conjuntos difusos con formas sencillas, como por ejemplo, el trapecio del conjunto difuso D. Muy bien. Recordemos. El principal aporte de esta definición es que ahora un elemento puede pertenecer parcialmente al conjunto y, a la vez, al complemento del conjunto. Si hacemos una comparación entre los conjuntos convencionales y conjuntos difusos, tenemos por lo menos tres cosas que los diferencian. Los conjuntos convencionales vamos a denominarlos, a partir de este momento, conjuntos concretos o de la literatura en inglés, los crisp sets. Y los conjuntos difusos, como en la literatura en inglés, el fuzzy sets. En español, utilizamos conjuntos difusos, aún cuando hace unos años se utilizaba también el término conjunto borroso, en particular, de la literatura proveniente de España y algo de México. Hoy en día, el término más utilizado es el de conjuntos difusos. Bueno, comparemos entonces nuestros conjuntos concretos con los conjuntos difusos. La primera comparación tiene que ver con los grados de pertenencia. La pertenencia a un conjunto concreto solo puede ser cero o uno. A un conjunto difuso puede ser cualquier valor entre cero y uno. Eso deriva en el siguiente punto de comparación. Los conjuntos concretos satisfacen el principio del tercer excluido. ¿Qué significa eso? Que un elemento solo tiene dos opciones, pertenecer o no pertenecer. Cualquier tercera opción está excluida. Solo hay dos. Ese principio no se satisface en los conjuntos difusos. De hecho, se puede pertenecer al conjunto y a su complemento simultáneamente. Y la conclusión entonces es que en las fronteras de los conjuntos crisp, de los conjuntos concretos, son nítidas, son concretas; mientras que las fronteras de los conjuntos difusos son difusas. Quizás algunos de ustedes puedan estar en este momento preguntándose si estamos moviendo todo el andamiaje de la matemática. Total, a la hora de formalizar la matemática, la teoría de conjuntos es la base para muchas ramas de la matemática, para la lógica, para el álgebra, para la aritmética, etcétera. Y ahora estamos cambiando la teoría de conjuntos difusos. ¿Es esa entonces un cisma? No, realmente no. La teoría de conjuntos clásica, concretos, nos permite definir los conjuntos difusos. Un conjunto difusos es un conjunto de parejas, parejas elemento y grado de pertenencia. Eso se ve muy claro en la notación sumatoria, por ejemplo. Por eso, deberiamos, en rigor, hablar de teoría de subconjuntos difusos, porque están involucrados dentro de los conjuntos convencionales. Realmente, lo que tenemos es una oportunidad. Vamos, sí, con estos conjuntos difusos, a construir nuevas versiones de las áreas clásicas de la matemática, como la lógica, la aritmética, la geometría, etcétera. En particular, en este curso, abordaremos aplicaciones basadas en lógica difusa y en aritmética difusa. Tendremos entonces que aprender de esos temas. Para rematar este video, les invito a que reflexionen y participen en el foro con sus opiniones para discutir, ¿qué tipo de conjunto, concreto o difuso, representaría de mejor forma estos ejemplos que hay aquí? Las personas altas, las personas vivas, poblaciones vulnerables, proyectos de impacto social alto, los clientes satisfechos. Y sería interesante también que reflexionáramos en ese foro sobre las dificultades de definir bien o mal estos conjuntos en aplicaciones concretas. Muchas gracias.
