Hola. En este video abordamos el concepto de relación entre conjuntos difusos y relaciones difusas. Lo que vamos a hacer es definir inicialmente 2 conjuntos y una relación sobre ellos. Por ejemplo, 2 conjuntos sobre 2 universos diferentes, el universo U de los deportes, el universo V de los animales, y tenemos en cada uno de ellos 2 conjuntos diferentes, el conjunto A, el conjunto B. Ahora, mirando solo esos 2 conjuntos, establecemos una relación entre algunos de sus elementos, y lo podemos representar gráficamente con un diagrama sagital. Estaríamos diciendo, por ejemplo, que el ciclista no se relaciona con ninguno de los elementos del conjunto B, pero la atleta se relaciona tanto con el búho como con el flamingo. Una relación que no sabemos qué significado pueda tener. Muy bien. Esa situación nos genera un conjunto de parejas. La relación puede verse también como un conjunto. Ahora, sobre el plano cartesiano formado por A y B. Y, si es un conjunto, lo podemos mostrar con su grado de pertenencia. En este caso, resulta bastante práctico hacerlo con una tabla. Mostramos los deportes por una parte, los animales por otra y en cada casilla el grado de pertenencia de la pareja correspondiente a la relación. Teniendo ya la relación descrita por los grados de pertenencia, podemos fácilmente dar el salto al concepto de relación difusa entre los elementos de 2 conjuntos. ¿Cómo? Permitiendo que la relación no solo sea 0 o 1, sino cualquier número entre 0 y 1. Por ejemplo, podemos establecer una relación difusa entre los elementos de estos 2 conjuntos, como el eje con los números que se están mostrando en esta rama, solo a manera de ejemplo. Relación difusa entre elementos. Como es un conjunto difuso, podemos utilizar la notación sumatoria, notación de esa D, para representarlo. En esto no hay ninguna novedad. Pero ahora, pensemos en relación ya no entre los elementos de unos conjuntos, sino relaciones entre los conjuntos completos. Ahora lo que vamos a decir es que el conjunto tal se relaciona con el conjunto tal. Vamos de una al caso de conjuntos difusos. Imaginemos 2 conjuntos difusos, en este caso el C y el D, definidos sobre 2 universos de discurso distintos, el U de los deportes, el V de los animales, con los grados de pertenencia que ustedes ven allí. Lo que estamos diciendo es que esos 2 conjuntos están relacionados. ¿Cómo se establece esa relación? Pensemos, por ejemplo, en la pareja formada por el surf y el murciélago. El grado de pertenencia a C del elemento surf es 0,2 y el del murciélago al grado D es 0,3. Tomamos el valor más pequeño para representar esa relación. Esos 2 conjuntos están relacionados, tomamos el mínimo valor. De tal manera que podríamos construir el resto de la tabla tomando los menores valores de los grados de pertenencia en cada uno de los casos. El resto de elementos de la tabla serían los ceros, por supuesto. Lo que estamos diciendo es que la expresión C se relaciona con D. Es un subconjunto del producto cartesiano, y la forma de calcular el grado de pertenencia para una pareja (x, y) es tomando el grado de pertenencia del primer conjunto, con x, el grado de pertenencia al segundo conjunto, con y, y de esos valores tomar el mínimo; si estamos utilizando el mínimo, pero podemos utilizar cualquier otra T norma para representar esa relación. La tabla realmente se puede presentar también como una matriz. Las relaciones difusas se pueden representar mediante una matriz en donde en cada celda de esa matriz está la misma información que presentamos en una tabla. Pero con matrices, podemos hacer otro tipo de operaciones. Por ejemplo, vamos ahora a componer relaciones. La situación que planteamos gráficamente es la siguiente. Tenemos ahora 2 relaciones: una entre el conjunto A y el conjunto B, y otra distinta a la que le damos aquí el nombre de S, entre el conjunto B y un conjunto C de alimentos. ¿Cuál es la relación que hay entre el conjunto A y el conjunto C? ¿Qué tanto se relacionan cada uno de los elementos de A con los elementos de C? ¿Cómo se componen esas 2 relaciones? Tomemos el primer caso. ¿Qué tanto se relaciona la atleta con el croissant? Lo que hemos destacado en este gráfico son las relaciones que llevarían desde nuestra atleta hasta el croissant. Hay 2 caminos distintos. Lo que vamos a tomar es el mejor de esos 2 caminos, para establecer la relación más fuerte. Pero cada uno de esos 2 caminos tiene 2 tramos. ¿Qué tan fuerte es la relación? Estará determinado por el menor valor de esos 2 caminos. Para cada camino, tenemos que buscar el eslabón más débil. Por ejemplo, hay un camino que pasa por el búho, que tiene grados de pertenencia 0,2 y 0,3, la relación total de ese camino tiene una fuerza, digámoslo así, de 0,2, mientras el camino de abajo que pasa por el flamenco tiene un camino con grado de pertenencia 0,7 y 0,4. El valor más débil es el 0,4. El camino de arriba 0,2; el camino de abajo 0,4. ¿Qué camino tomamos? El mejor, el de abajo. La relación entre estos 2 extremos, la atleta y el croissant, va a ser de 0,4. Hagámoslo ahora con matrices. La matriz R representa la primera de las relaciones con unos valores numéricos inventados, y la segunda matriz representa las relación S. Y hemos obtenido la composición, que será esa matriz R compuesto S. Vamos a explicar de dónde salieron cada uno de los numeritos de esa matriz. Pero antes, miremos las dimensiones de las 2 matrices. La matriz R es 3 por 2, porque el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B tiene 2 elementos. La matriz S es una 2 por 3, porque va desde B, que tiene 2 elementos, hasta C, que tiene 3. La matriz compuesta es una matriz 3 por 3, porque va desde el A hasta el B y ambos tienen 3 elementos. ¿Cómo calculamos los valores que están en esa matriz cuadrada 3 por 3? Ya lo ilustramos gráficamente. Dijimos que hay que tomar los 2 caminos y en cada camino tomar el valor más pequeño, para luego quedarnos con el mayor valor. Eso es utilizar primero el mínimo, pareja a pareja, y luego hacer el máximo de los resultados. Se asemeja a la operación de multiplicación de matrices. En la multiplicación de matrices hacemos productos y luego sumamos los resultados. Aquí en lugar de productos, hacemos mínimo y, luego, en lugar de sumar los resultados, tomamos el máximo. Este es el operador máx-min que utilizaremos para hacer esa composición de relaciones. Revisemos los cálculos. Tendríamos que tomar la pareja (0,2, 0,3) y luego la pareja (0,7, 0,4). La pareja (0,2, 0,3) aplicamos el mínimo y da 0,2. La pareja (0,7, 0,4) aplicamos el mínimo y nos da 0,4. El máximo de esos 2 resultados es 0,4. Cuando queremos calcular el siguiente elemento, el elemento 1,2 de la matriz resultante, tomamos la primera fila, pero ahora la segunda columna en la segunda matriz, igual que la multiplicación de matrices. Quizás en este momento usted quiera parar el video para revisar los cálculos de esa matriz 3 por 3. De manera resumida, diríamos que la composición de estas relaciones se obtiene aplicando el operador máx-min; o, generalizando, el operador S norma sobre una T norma, para hacer esa composición de relaciones. Muchas gracias.
