Hola. En este vídeo vamos a presentar los operadores conocidos como T-Normas y S-Normas. Son una generalización de los operadores mínimo y máximo que presentamos en el vídeo pasado como una de las posibilidades de hacer uniones e intersecciones. Comencemos por explorar un poquito esos dos operadores, mínimo y máximo, para luego generalizarlos a otro tipo de funciones. Como estamos trabajando sobre grados de pertenencia y los grados de pertenencia están en el intervalo 0-1, la funciones mínimo y máximo vale la pena mirarlas solo en ese intervalo. Por eso dibujamos las funciones mínimo y máximo en el cubo unitario, en el cubo del lado 1, en x, y y z. Observe que las dos funciones no son tan distintas. En ambos casos son caras triangulares y sus triángulos son triángulos rectángulos, como si se hubieran tumbado una sobre el eje x y sobre el eje y, desde abajo o tumbado desde arriba. Pero no hay tantas diferencias a la hora de mirarlo aquí en el cubo unitario. ¿Por qué escogimos el mínimo para hacer la operación de intersección? Porque nos permitía reproducir esos cuatro puntos de la tabla que hay a la derecha, que están marcados en rojo ahora en esta representación en el cubo unitario. ¿Y por qué escogimos el máximo? Porque nos permitía representar la tabla de la unión, ahora mostrada ahí en estos puntos rojos. Pero no son las únicas funciones que pasan por esos cuatro puntos rojos. Por ejemplo, tenemos aquí cuatro funciones distintas que se parecen a la función del mínimo y que pasan por los cuatro puntos necesarios para representar la intersección. Todas estas funciones que he escogido aquí para dibujarlas son T-Normas. Las T-Normas van a cumplir la misma función que el mínimo. Nos van a permitir operar la intersección, pero con propiedades matemáticas distintas unas de las otras. De manera análoga, hay muchas funciones que se parecen a la del máximo. A esas las llamaremos "S-Normas", y aquí he dibujado solo cuatro de ellas, que pasan también por los cuatro puntos necesarios para representar la unión T-Normas y S-Normas. T-Normas para generalizar el mínimo; S-Normas para generalizar el máximo. A veces, las S-Normas se denominan T-Conormas, porque vienen de a parejitas. A cada T-Norma le corresponde una S-Norma. Cuando eso sucede tenemos la T-Norma y la T-Conorma. Nosotros en este curso utilizaremos la terminología de T-Norma y S-Norma. Exploremos ahora las T-Normas. ¿Qué tienen de particular esos operadores? Son operadores que funcionan en el cubo unitario, es lo que estamos diciendo con esta expresión. Toman elementos del producto cartesiano [0, 1] [0, 1]; es decir, el primer argumento es un número que está entre 0 y 1, el segundo también, y entregan un resultado que está entre 0 y 1, con las siguientes cuatro características: conmutativa, monotonía no decreciente, la asociatividad y la modulativa, y un elemento neutro. La conmutatividad hace que la gráfica en el cubo unitario se vea con una asimetría en el plano que va en 45 grados respecto al plano horizontal, el plano x igual a y. Hay una asimetría allí. La monotonía no decreciente significa que siempre va para arriba o al menos horizontal, pero nunca baja. Si vamos desde 0, 0,0 hasta 1,1, 1 va creciendo. La asociatividad me permite hacer de diferentes formas la operación y el elemento neutro es el 1. Por ejemplo, el operador mínimo. El mínimo entre 1 y 0,3 es 0,3, o sea no le hace nada al 0,3. El mínimo entre 1 y 0,5 pues es 0,5. El módulo de una T-Norma es el 1. Veamos dos de esas T-Normas que tienen una particularidad, la del mínimo y la que se denomina "drástica". Se puede demostrar, no lo vamos a hacer en este curso, que todas las T-Normas son menores o iguales que la del mínimo y mayores o iguales que la de la drástica. Es decir, estas dos son como los casos extremos. Todas las otras T-Normas están entre estos dos. La del mínimo es formada por esos dos triángulos, y la drástica tiene un plano cuadrado en el horizontal y dos triángulos en la cara de fondo. Está todo tirado hacia uno de los extremos de ese cubo. Son esos tres planos. Todas las otras T-Normas están en ese espacio. Veamos ahora una colección de T-Normas. Ya hemos presentado la del mínimo, destacando que pasa por los cuatro puntos que nos interesan. Presentemos ahora la probabilística, también conocida como la "T-Norma del producto", muy utilizada también. El producto de un número entre 0 y 1 y 0 y 1, también da un número entre 0 y 1. Pasa por los cuatro puntos que nos interesan, y a diferencia del mínimo, es suave, no tiene discontinuidades en su forma. Si tenemos que hacer una derivada, las discontinuidades son una dificultad. Con la T-Norma del producto podemos obviar esa dificultad. La de Lukasiewicz, también muy conocida, formada por dos planos, un plano horizontal y el plano x más y menos 1. La drástica, volvemos a presentarla, formada por tres planos, el horizontal y el que está sobre las caras de fondo, los triángulos que están sobre las caras de fondo. También hay otra idea: si las T-Normas tienen que estar entre la drástica y la mínima, ¿qué tal si diseñamos una T-Norma que dependa de un parámetro, de tal manera que al modificar este parámetro cambie la forma de la T-Norma? Hay una gran colección de T-Normas parametrizadas, familias de T-Normas. Aquí voy a presentar el ejemplo de dos de ellas, no más. La Sugeno. La T-Norma Sugeno, si ustedes ven la fórmula, depende de un parámetro lambda t. Yo dibujé en esta presentación la T-Norma para lambda t igual 1, y por eso le puse el subíndice sub 1 en el título, T-Sugeno_1. Pero cambiará su forma si yo cambio el valor de lambda t. O la Hamacher que tiene otro parámetro distinto, el parámetro gamma. De nuevo he dibujado la T-Norma Hamacher para gamma igual 1. Veamos el efecto de los parámetros sobre estas 2 T-Normas. Por ejemplo, aquí hay ocho versiones de la T-Norma Sugeno para distintos valores del parámetro lambda t, y ustedes pueden ver cómo se modifica gradualmente la forma de esa T-Norma, desde 0, una que parece la Lukasiewicz, hasta 10, se va acercando a la T-Norma del mínimo. El efecto del parámetro en la norma Hamacher es otro, porque es otra ecuación distinta y el parámetro significa otra cosa diferente. Por ejemplo, al incrementarlo desde 0 hasta 100, lo que pasa con la T-Norma Hamacher es que se va acercando a la drástica. Tenemos entonces una enorme colección de funciones que nos permiten generalizar el operador mínimo; es decir, la intersección podríamos hacerla de muchas formas distintas, con el mínimo o con cualquier T-Norma. Las S-Normas. El discurso es completamente análogo al de las T-Normas. Las S-Normas también son operadores binarios que se definen en el cubo unitario, y cuando miramos las propiedades son las mismas cuatro propiedades de las T-Normas, pero el elemento neutro de la modulativa ya no es el 1, sino el 0. Es la única diferencia entre una T-Norma y una S-Norma. Pero esa diferencia hace que ahora las S-Normas nos permitan representar los conceptos como en unión de conjuntos, porque van a pasar justo por los cuatro puntos que nos interesan para representar la unión. De nuevo, hay dos extremos de S-Normas, la norma máxima y la norma drástica. La norma drástica es también un plano horizontal. Lo que pasa es que ahora el plano está arriba, no abajo. El plano está arriba y dos planos en las caras más cercanas, desde donde la estamos viendo actualmente, que son triángulos también. Todas las S-Normas están metidas en ese espacio entre el máximo y la drástica. Presentemos una colección de estas S-Normas que van a ser las duales de las que presentamos para las T-Normas, el máximo, la probabilística, la Lukasiewicz, también dos planos, un plano superior y el plano x más y, la drástica y, de nuevo, dos ejemplos de familias de S-Normas, S-Normas parametrizadas: la Sugeno, de nuevo hemos dibujado aquí con el parámetro lambda_S1, y la Hamacher. Pero hay muchas otras S-Normas. ¿Cuál es el efecto de esos parámetros? Por ejemplo, sobre la Sugeno hemos graficado para 0, 0,25, etcétera, hasta 10, y vemos cómo se va acercando hacia la drástica. Y en la Hamacher, modificando el valor de gamma desde 0 hasta 100, tenemos también un efecto de aproximación hacia la drástica. Las colecciones de familias parametrizadas son bastantes y cada una tiene ciertas propiedades. Para generalizar: Toda T-Norma nos va a ayudar a representar la intersección. Toda S-Norma nos va a ayudar a presentar la unión. Pero estos son operadores más poderosos que para trabajar solo uniones e intersecciones. Cuando veamos elementos de lógica difusa, veremos que también van a servirnos para representar la conjunción y la disyunción. Y realmente, podríamos verlo desde una perspectiva más amplia. Estos operadores son solo unos operadores de unos más generales que se denominan "agregadores de información". Las T-Normas y las S-Normas nos permiten agregar información de una cierta manera. Gracias.
