Bonjour. C'est encore un réel plaisir, pour moi, de contribuer au MOOC RESCIF de thermodynamique, coordonné par l'École Polytechnique de Lausanne, en Suisse. Je suis l'ingénieur docteur Paul-Salomon Ngohe-Ekam, enseignant à l'École Nationale Polytechnique supérieure de Yaoundé, au Cameroun. J'ai le plaisir, cette fois-ci, de vous entretenir sur le thème Coefficients Calorimétriques : Applications. Il s'agit, en fait, d'appliquer tout ce que nous avons vu jusque-là sur les coefficients calorimétriques. Leur définition, leur détermination, les relations qui les lient et appliquer cela à la détermination de la quantité de chaleur échangée et du travail échangé entre le système et le milieu extérieur, dans le cas particulier des gaz parfaits. Donc, nous commençons par examiner le cas d'une transformation isotherme et réversible d'un gaz parfait. Nous allons montrer que le travail échangé est donc, donné par W égal à moins nRT log de Vf sur Vi. En effet, le gaz parfait est caractérisé par son équation d'état, P.V égal à n.R.T. Nous avons défini le travail élémentaire sous la forme dW =- P.d.V. Cette équation de gaz parfait nous permettant d'obtenir P = (n.R.T) / V. Nous avons donc dW égal à -n.R.T dW sur V. La transformation étant isotherme était égale à constant donc W pour passer de l'état initial à l'état final, qui est égal à intégrale de l'état final de dW, est alors égal à intégrale de l'état initial, de l'état initial et état final de- n.R.T. (dV /V). Nous avons dit que la transformation isotherme était une constante dont la quantité- n.R.T inconstante est solde d'intégrale. Nous avons -n.R.T intégrale de i à f de dV / V. C'est-à-dire -n.R.T, dV donne log de V de l'état i à l'état f, qui nous donne- n.R.T que multiplie log de Vf moins log de Vi log [INAUDIBLE]. Avec la propriété de log, nous avons donc - n.R.T. log de Vf sur Vi. Voilà de nouveau pour passer de i à f. C'est cette instruction-là. On montre de même que la chaleur échangée lors d'une transformation réversible isotherme d'un gaz parfait est donnée par Q = n.R.T log de Vf / Vi. En effet, la chaleur infinitésimale échangée est donnée par l'équation une : CV.dT + l.d.V, c'était l'équation une. Lorsque nous avons une transformation isotherme, [INAUDIBLE] est nul, donc nous avons un d qui est égal à l d.V. Or, pour le gaz parfait, nous avons démontré que l est égal à P. Donc, nous avons P.dV à ce niveau. Une équation, donc, de gaz parfait. PV = n.R.T et nous disons P = ( (n.R.T) / V). dV. Et nous avons n.R.T (dV / V). Une nouvelle intégration nous donne Q pour aller de l'état initial à l'état final égal à n.R.T intégrale de dV / V pour aller de l'état initial à l'état final. D'où, en dehors de [INAUDIBLE] nous avons encore une expression, alors on va l'appeler n.R.T log de Vf sur Vi. Chaleur échangée entre le système et l'extérieur, pour aller de l'état i à l'état f dans le cas d'une transformation isotherme réversible. Le deuxième cas de transformation que nous allons considérer est une transformation réversible adiabatique d'un gaz parfait. Nous allons commencer par établir l'équation de l'adiabatique réversible d'un gaz parfait, à savoir d fois V puissance Gamma est égal à constante. En effet, les équations une et deux, donnant les quantités infinitésimales de chaleur échangée sont de la forme dQ = CV.dT plus ldV. Ça, c'était l'équation une. Et l'équation deux, Cp.dT + h.dP, équation une. Maintenant, supposons que nous sommes dans le cas d'une transformation adiabatique, où d est égal à 0. La combinaison de ces trois propriétés nous permet d'avoir dans la première équation Cv.dT = -l.dV et dans la deuxième équation, Cp.dT égal à -h.dP. Ce, nous disant de faire le rapport avec bien sûr [INAUDIBLE] équations dont nous avons CCp / Cv =- h.dP sur- l.dV ce qui nous fait (h / l) (dP / dV). De l'autre côté, Cp / Cv, on l'a bien noté Gamma. Compte tenu du fait que l = P, et h = -V, cette dernière égalité nous permet donc d'écrire Gamma égal à ( (h- V) / l.P) que multiplie dP / dV. Essayons ici de séparer les variables. Nous avons donc Gamma dV / V = moins dP sur P. Équation que nous intégrons donc, cela nous fait intégrale dans Gamma, intégrale de dV / V égal à moins intégrale de dP / P. En tenant compte, bien sûr, de deux constantes, lorsque nous faisons une intégrale généralisée, donc comme celle-ci, nous avons donc Gamma log de V égal à moins log de P c'est-à-dire log de V puissance Gamma égal à log de 1 / P. Bien sûr, la constante d'intégration peut être, lors d'une constante, le log d'une constante. En envoyant donc P de l'autre côté, nous avons log de V puissance Gamma moins log de 1 / P égal à log d'une constante et moins log de 1 / P étant égal à log de P, nous avons log de V puissance Gamma puis log de P. C'est-à-dire log dP fois V puissance Gamma égal à log d'une constante, de laquelle nous tirons donc P.V puissance Gamma égal constante. Donc, voilà l'équation de l'adiabatique d'un gaz parfait. Nous allons maintenant, donc, ayant pré-établi l'équation de l'abiatique d'un gaz parfait, déterminé l'échange de travail et l'échange de chaleur dans le cas d'une transformation adiabatique d'un gaz parfait. D'abord, la quantité de travail échangé lors d'une transformation adiabatique d'un gaz parfait, nous allons montrer qu'elle est égale à ( 1 / (Gamma- 1) ) (P2V2- P1V1), ou l'état final à l'indice 2 et l'état initial d'indice 1. En effet, par définition, dW est égal à- P dV. Or, avec l'équation P.V puissance Gamma égal à constante on a donc P qui est égal à constante sur V puissance Gamma, le tout que multiplie dV. [INAUDIBLE] dW égal constante ou moins constante dV sur V puissance Gamma. D'où l'on doit intégrer dans un parcours allant de l'état initial à l'état final, on a W égal à moins constante intégrale de dV fois V puissance - Gamma. Et ceci nous donne moins constante que multiplie 1 sur (1- Gamma) que multiplie V puissance (1- Gamma) à prendre entre les états initial 1 et final 2. Ceci nous donne donc une expression de la forme 1 sur 1 moins moins gamma. Avec le moins ici, nous aurons donc 1 / (gamma- 1), que multiplie une constante. Donc qui va multiplier v2 puissance (1- gamma)- v1 puissance (1- gamma). Maintenant, notons que cette constante ici est égale à P1 V1 puissance gamma. Mais aussi égale à P2 V2 puissance gamma. Puis, son équation adiabatique est vérifiée ici en tout état d'équilibre, en particulier à l'état initial d'équilibre 1, l'état final d'équilibre 2. Nous allons donc reprendre l'équation de W ici. Avec 1 / (gamma- 1). Et puis, la constante comme on l'a multiplié par V2, nous allons prendre P2 V2 comme ici. P2 V2 puissance gamma qui est la constante. Le tout fois V2 puissance (1- gamma). Moins la constante multipliée par V1. Nous allons prendre P1 V1 puissance gamma. Le tout que multiplie V1 puissance (1- gamma). Ceci va donc nous donner 1 / (gamma- 1) que multiplie P2. Ici, nous avons V2 puissance gamma. Fois V2 puissance (1- gamma), cela fait V2 puissance gamma + 1- gamma. Donc, V2 puissance 1. P1 V1. Ici, puissance 1. D'où, W dans le cas d'une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait. W = 1 / (gamma- 1) (P2 V2- P1 V1). Lorsque la transformation a lieu de l'état 1 à l'état 2. Toujours pour une transformation adiabatique issue d'un gaz parfait, donc nous avons la chaleur échangée qui est nulle. En réalité, on n'a même pas besoin de le démontrer. Lorsque la transformation est adiabatique, dQ = 0. Et Q, qui est égal à la somme des dQ, est bien égal à 0. Donc, nous avons une chaleur échangée nulle. Nous allons maintenant considérer une troisième transformation toujours réversible d'un gaz parfait. À savoir une transformation réversible isochore. Bien, isochore veut dire que le volume est constant. Donc, dV = 0. Et comme le travail élémentaire est égal à- P dV, avec dV = 0, le travail élémentaire est nul. Donc, W qui est l'intégrale à l'état initial et l'état final ici va encore nous donner 0. Donc, pour une transformation isochore réversible d'un gaz parfait, le travail échangé est nul. On montre ensuite que pour la transformation isochore réversible, la chaleur échangée est donnée par Qv - CV (T2- T1) où T1 et T2 sont respectivement des températures de l'état initial et l'état final. En effet, la quantité de chaleur élémentaire dQ nous a été donnée par l'équation (1) de tout à l'heure CV dT + ldV qui est l'équation (1). Nous avons une transformation isochore. Ceci veut dire que dV = 0. La combinaison de ces deux équations nous permet donc d'écrire que dQ = CV dT et la chaleur échangée pour passer d'un état initial à un état final 2 est donc l'intégrale d'état initial à l'état final de dQ. C'est l'intégrale d'état initial à l'état final de CV dT. Donc, nous obtenons la chaleur échangée égale à CV que multiplie T dépendant de l'état 1 et 2. C'est-à-dire, on peut aller de l'état 1 et 2 égal à CV (T2- T1), qui est là. Bien, au terme de cette leçon, je vous remercie pour votre attention. Votre patience aussi. J'ose croire que les quelques applications que nous avons faites pendant cette leçon, à savoir le calcul de quelques quantités de chaleur échangées lors des transformations particulières d'un gaz parfait. Mais aussi, les quelques calculs de quantités de travail échangées entre les systèmes dans le milieu extérieur lors de ces quelques cas particuliers de transformations réversibles au gaz parfait, vous ont permis de mieux comprendre les notions de travail et chaleur. Et surtout, l'utilité des coefficients calorimétriques. J'espère que nous allons continuer de vous voir présents et attentifs dans les leçons suivantes du cours RESCIF Thermodynamique, coordonné par l'EPFL, l'École polytechnique fédérale de Lausanne. Je vous remercie. [AUDIO_VIDE]
